Как здесь верно второе уравнение Максвелла?

$\vec{B}=\nabla \times \vec{A}\tag1$

Это верно, потому что в каждой точке $\nabla\cdot\vec{B}=0 \tag2$

В точках свободного пространства ,

$\displaystyle \vec{B}=\dfrac{\mu_0}{4 \pi}\int_C \dfrac{I\ dl \times\hat{r}}{r^2}\tag3$

Следовательно:$\nabla \cdot\vec{B}=0 \tag2$

В точках контура имеется особенность, и мы не можем напрямую применить уравнение$(3)$, т.е. закон Био Савара.

Так как же в этом случае$\nabla \cdot\vec{B}=0$

Редактировать (в моем понимании) @ garyp:

$\text{I am a graduate student. So I may seem to be a bit naive. Anyway please tell whether}\\ \text{I am understanding in the right way.}$

Здесь я не рассматриваю схему как трехмерную.

Если рассматривать его как одномерное, (замкнутая) цепь становится эквивалентной магнитному дипольному слою бесконечно малой толщины.

Используя закон обратных квадратов магнитных полюсов, мы можем найти магнитное поле (напряженность) в любой точке за пределами магнитного дипольного слоя (даже в точках, бесконечно близких к дипольному слою). Посмотрим сначала магнитное поле, обусловленное элементом дипольного слоя в бесконечно близкой к нему точке:

$$\vec{B}=\mu_0\vec{H}= k \ M\ \left[ \dfrac{\hat{r_1}}{r_1^2}-\dfrac{\hat{r_2}}{r_2^2} \right] dS'$$

(где$M$плотность магнитного полюса и$S'$- поверхность магнитного дипольного слоя)

Теперь воспользуемся формулой дивергенции в сферических координатах:

$$\begin{align} \nabla \cdot \vec{B} &= k \ M\ \left[ \nabla \cdot \dfrac{\hat{r_1}}{r_1^2}-\nabla \cdot \dfrac{\hat{r_2}}{r_2^2} \right]\ dS' \\ & = \lim_{r\to\ 0} k \ M\ \left \{ \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \left( r^2 \dfrac{\hat{r}}{r^2} \right)}{\partial r} \right]_{\text{at }r_1} -\left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \left( r^2 \dfrac{\hat{r}}{r^2} \right)}{\partial r} \right]_{\text{at }r_2} \right \} dS' \\ \text{We see the two $r^2$ cancel out} \\ & = \lim_{r\to\ 0} k \ M\ \left[ \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r} \right]_{\text{at } r_1} - \left[ \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r} \right]_{\text{at } r_2} \right] dS'\\ & =0\\ \text{(This is because $\dfrac{\partial \hat{r}}{\partial r}=0$)} \end{align}$$

Следовательно, расходимость (в точках вне дипольного слоя), обусловленная каждым из элементов дипольного слоя, равна нулю. То есть расходимость (в точках вне дипольного слоя) из-за магнитного дипольного слоя равна нулю.

Таким образом, мы видим, что магнитное поле может взрываться в точках, бесконечно близких к дипольному слою, но его дивергенция все равно будет равна нулю.

Таким образом, дивергенция магнитного поля из-за (замкнутой) цепи равна нулю везде, кроме точек на (замкнутой) цепи. Теперь наступает ключевой момент: поскольку мы знаем, что дивергенция магнитного поля из-за (замкнутой) цепи, даже в точках, бесконечно близких к цепи, равна нулю, мы игнорируем цепь и говорим$\nabla \cdot \vec{B}=0$везде на$\mathbb R^3$.