Ничего не падает в испаряющуюся черную дыру?

Question

Ничего не падает в испаряющуюся черную дыру?

Физика
черные дыры
горизонт событий
излучение Хокинга
общая теория относительности
черная дыра-термодинамика

Кошка

Метрика Вайдья — это метрика, которую можно использовать для описания пространственно-временной геометрии черной дыры переменной массы. Этот показатель читает

д т^{2} знак равно (1 - \frac{2 М (ν)}{р}) д ν^{2} + 2 д ν д р - р^{2} д {Ом}_{2}^{2}

$d\tau^2=\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)d\nu^2+2d\nu dr - r^2 d\Omega_2^2$ Для простоты я буду считать

d Ω_{2} = 0

$d\Omega_2=0$ . Теперь условие пространственноподобности любого интервала можно вывести из этой метрики как

\begin{matrix} (1) & \frac{д р}{д ν} < - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 М (ν)}{р}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}<-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)\tag{1}$ Теперь предположим, что траектория частицы (которая, разумеется, должна быть либо светоподобной, либо времениподобной траекторией) соединяет два события — одно вне горизонта и одно внутри горизонта. Кроме того, давайте примем эти события очень близко к горизонту. Тогда координаты этих событий можно принять в виде

(ν, 2 М (ν) + дельта ξ_{о})

$\Big(\nu, 2M(\nu)+ \delta \xi_{o}\Big)$ а также

(ν + д ν, 2 М (ν + д ν) - дельта ξ_{я})

$\Big(\nu+d\nu, 2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}\Big)$ куда

δ ξ_{i}

$\delta\xi_{i}$ а также

δ ξ_{o}

$\delta\xi_{o}$ — это бесконечно малые параметры, которые мы можем изменить, чтобы сделать выбранные события как можно ближе к горизонту.

Теперь по паре этих двух событий

\begin{matrix} (2) & \frac{д р}{д ν} знак равно \frac{2 М (ν + д ν) - дельта ξ_{я} - 2 М (ν) - дельта ξ_{о}}{д ν} знак равно 2 \dot{М} (ν) - (\frac{дельта ξ_{я} + дельта ξ_{о}}{д ν}) \end{matrix}

$\dfrac{dr}{d\nu}=\dfrac{2M(\nu+d\nu)-\delta\xi_{i}-2M(\nu)-\delta\xi_{o}}{d\nu}=2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\tag{2}$

Объединение $(1)$ а также $(2)$ , получаем, что наше условие о том, что частица связывает два рассматриваемых события, может быть верным, только если

2 \dot{М} (ν) - (\frac{дельта ξ_{я} + дельта ξ_{о}}{д ν}) \geq - \frac{1}{2} (1 - \frac{2 М (ν)}{р})

$2\dot{M}(\nu)-\bigg(\dfrac{\delta\xi_{i}+\delta\xi_{o}}{d\nu}\bigg)\geq-\dfrac{1}{2}\bigg(1-\dfrac{2M(\nu)}{r}\bigg)$

куда $r$ можно принять как $2M(\nu)$ в пределе, где мы делаем $\delta\xi_{i}$ а также $\delta\xi_{o}$ достаточно мала (по сравнению с $d\nu$ ). Таким образом, мы получаем

\dot{М} (ν) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$

Таким образом, кажется, что частица может упасть за горизонт только в том случае, если черная дыра либо не испаряется, либо набирает массу. В случае с испаряющейся черной дырой этот расчет, по-видимому, предполагает, что ничто (никакая времениподобная или светоподобная траектория) не может соединить внешнее с внутренним. Это правда?

Заметим, что вывод не может быть результатом неправильного выбора координат, поскольку аргумент зависит от значения общеинвариантного интервала.

Я думаю, что это довольно неожиданный результат, и поэтому я думаю, что есть вероятность того, что в логике представленного аргумента есть какой-то фатальный изъян. Я хотел бы, чтобы ответы указывали на то же самое. Представленный таким образом, это может показаться вопросом «проверить мою работу», но я надеюсь, что это не совсем неинтересный и не относящийся к теме домашний вопрос, похожий на проверку моей работы, которого следует избегать в соответствии с политикой «не проверять мою работу». ".

Питер Шор

Как вы оправдываете принятие

d ξ_{i}

$d \xi_i$ а также

d ξ_{o}

$d \xi_o$ достаточно мал по сравнению с

d ν

$d \nu$ ? Если частица падает с некоторой скоростью, а горизонт черной дыры сужается с другой скоростью, не должна ли быть связь между этими величинами?

Кошка

@PeterShor Я обновил свой вопрос, чтобы принять новую нотацию, которая лучше иллюстрирует природу дифференциалов, ранее записанных как

d ξ_{o}

$d\xi_{o}$ а также

d ξ_{i}

$d\xi_{i}$ . Можно думать об этих параметрах как о параметрах, используемых для обхода набора событий вблизи горизонта. Чем меньше параметр

δ ξ

$\delta\xi$ , тем ближе событие к горизонту. Эти параметры определяют координаты конечных точек траектории. Отношения между ними и

d ν

$d\nu$ именно то, что представлено предпоследним неравенством в моем посте, т. е. они связаны непространственноподобным путем....

Кошка

... Я не думаю, что на эти дифференциалы должно быть какое-либо другое ограничение, кроме того, которое представлено этим неравенством. Теперь я не думаю, что у меня есть явное оправдание для проведения различий

δ ξ

$\delta \xi$ достаточно мал по сравнению с

d ν

$d\nu$ за исключением того, что для данного

d ν

$d\nu$ Я всегда могу проанализировать, каким будет условие, чтобы два события были достаточно близки к горизонту, связанными непространственноподобным путем в это время.

d ν

$d\nu$ .

Кошка

Но ваш комментарий заставил меня задуматься и интересно, даже если мы не делаем

δ ξ

$\delta\xi$ достаточно мала по сравнению с

d ν

$d\nu$ , мы всегда можем сделать их достаточно малыми по сравнению с

2 M (ν)

$2M(\nu)$ --изготовление

1 - \frac{2 M (ν)}{r} = O (δ ξ)

$1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Дальше

\frac{δ ξ_{o} + δ ξ_{i}}{d ν}

$\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ неотрицательна по построению. Таким образом, мы в любом случае можем сделать вывод, что

\dot{M} (ν) \geq 0

$\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Ответы (1)

Ничего не падает в испаряющуюся черную дыру?

Как вы оправдываете принятие $d \xi_i$ а также $d \xi_o$ достаточно мал по сравнению с $d \nu$ ? Если частица падает с некоторой скоростью, а горизонт черной дыры сужается с другой скоростью, не должна ли быть связь между этими величинами?
@PeterShor Я обновил свой вопрос, чтобы принять новую нотацию, которая лучше иллюстрирует природу дифференциалов, ранее записанных как $d\xi_{o}$ а также $d\xi_{i}$ . Можно думать об этих параметрах как о параметрах, используемых для обхода набора событий вблизи горизонта. Чем меньше параметр $\delta\xi$ , тем ближе событие к горизонту. Эти параметры определяют координаты конечных точек траектории. Отношения между ними и $d\nu$ именно то, что представлено предпоследним неравенством в моем посте, т. е. они связаны непространственноподобным путем....
... Я не думаю, что на эти дифференциалы должно быть какое-либо другое ограничение, кроме того, которое представлено этим неравенством. Теперь я не думаю, что у меня есть явное оправдание для проведения различий $\delta \xi$ достаточно мал по сравнению с $d\nu$ за исключением того, что для данного $d\nu$ Я всегда могу проанализировать, каким будет условие, чтобы два события были достаточно близки к горизонту, связанными непространственноподобным путем в это время. $d\nu$ .
Но ваш комментарий заставил меня задуматься и интересно, даже если мы не делаем $\delta\xi$ достаточно мала по сравнению с $d\nu$ , мы всегда можем сделать их достаточно малыми по сравнению с $2M(\nu)$ --изготовление $1-\dfrac{2M(\nu)}{r}=\mathcal{O}(\delta\xi)$ . Дальше $\dfrac{\delta \xi_{o}+\delta \xi_{i}}{d\nu}$ неотрицательна по построению. Таким образом, мы в любом случае можем сделать вывод, что $\dot{M}(\nu)\geq 0$ .

Эрик Йоргенфельт · Answer 1

Вместо этого начнем с рассмотрения черной дыры Шварцшильда: как вы знаете, максимально расширенной системой координат является система Крускала-Секереса:

д с^{2} знак равно \frac{32 М}{р} е^{- р / 2 М} д U д В - р^{2} д {Ом}^{2},

$ds^2 = \frac{32M}{r}e^{-r/2M}dU\,dV - r^2d\Omega^2,$ который описывает не только внешний вид, горизонт событий и внутреннюю часть черной дыры, но также параллельную внешнюю область, а также горизонт событий и внутреннюю часть белой дыры, недоступные для времяподобных и нулевых наблюдателей. Метрика Вадия более непосредственно соответствует координатам Эддингтона-Финкельштейна, которые можно записать во входящих координатах,

д с^{2} знак равно (1 - \frac{2 М}{р}) д в^{2} - 2 д в д р - р^{2} д {Ом}^{2},

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)dv^2 - 2dv\,dr - r^2d\Omega^2,$ или исходящие,

д с^{2} знак равно (1 - \frac{2 М}{р}) д {ты}^{2} + 2 д ты д р - р^{2} д {Ом}^{2} .

$ds^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)du^2 + 2du\,dr - r^2d\Omega^2.$ Оба они позволяют нам отображать горизонт событий, но в то время как входящие координаты отображаются на горизонте черной дыры, исходящие — на горизонте белой дыры! Может быть, вы видите, куда это идет?

Теперь, позволив $M = M(v)$ входящие координаты Эддингтона-Финкельштейна становятся входящей метрикой Вадия. И аналогично, позволяя $M = M(u)$ исходящие координаты Эддингтона-Финкельштейна становятся исходящей метрикой Вадия. Обратите внимание, что строчный элемент, который вы записали, — это исходящая Вадия. Другими словами, ваша метрика уже описывает «непреодолимый» горизонт событий, даже если радиация установлена на ноль. То, что он испаряется, ничего не изменит.

Для пояснения: излучение, испускаемое исходящей дырой Вадия, соответствует излучению, классически пересекающему горизонт событий, и поэтому требует структуры белой дыры. Между тем, излучение Хокинга является квантовым явлением, которое вносит излучение даже от черной дыры, и не может быть точно описано исходящей метрикой Вадия (для дальнейшего подтверждения см., например , эту (относительно недавнюю) статью , где авторы используют входящую метрику Вадия для анализа Излучение Хокинга вокруг динамической черной дыры)

Но, подождите минутку. Значит ли это, что если $M(u)_{,u} > 0$ в исходящей метрике Вадия мы действительно можем получить доступ к белой дыре? Поскольку белая дыра недоступна времениподобным и нулевым наблюдателям, мы можем заподозрить противоречие. В самом деле, прямое вычисление показывает, что единственные ненулевые компоненты Риччи задаются выражением

\begin{aligned} р_{ты ты} & знак равно - 2 \frac{М (ты)_{, ты}}{р^{2}}, & р_{в в} & знак равно 2 \frac{М (в)_{, в}}{р^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} R_{uu} &= -2\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & R_{vv} &= 2\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ соответственно. С

g^{u u} = 0 = g^{v v}

$g^{uu} = 0 = g^{vv}$ , то единственными ненулевыми компонентами тензора энергии напряжений являются

\begin{aligned} Т_{ты ты} & знак равно - 2 κ \frac{М (ты)_{, ты}}{р^{2}}, & Т_{в в} & знак равно 2 κ \frac{М (в)_{, в}}{р^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} T_{uu} &= -2\kappa\frac{M(u)_{,u}}{r^2}, & T_{vv} &= 2\kappa\frac{M(v)_{,v}}{r^2}, \end{align}$ где мы позволяем

κ

$\kappa$ обозначают константу пропорциональности в уравнениях поля Эйнштейна. Таким образом, из условия нулевой энергии (которое гарантирует, что нулевой наблюдатель наблюдает неотрицательную плотность энергии) мы должны иметь

M (u)_{, u} \leq 0

$M(u)_{,u} \leq 0$ а также

M (v)_{, v} \geq 0

$M(v)_{,v} \geq 0$ . В заключение заметим, что это означает, что входящая Вадия обязательно описывает поглощающее тело, а выходящая Вадия обязательно описывает излучающее тело.

Спасибо за ваш развернутый ответ. Я понимаю, как это решает мой вопрос, но часть, которую я не понимаю, - это применение условия нулевой энергии к входящей метрике. Кажется, это подразумевает, что масса черной дыры никогда не может уменьшиться, что, конечно, является классически правильным утверждением. Но входящую метрику можно принять за метрику, описывающую черную дыру с переменной массой, масса которой меняется из-за квантово-механических эффектов, верно? В таком случае, как сохраняется значение условия нулевой энергии?
@Dvij Честно говоря, детали излучения Хокинга в настоящее время находятся за пределами моего опыта, но вполне вероятно, что нельзя использовать метрику Вадия, чтобы попытаться рассчитать обратную реакцию. Традиционно я считаю, что предполагается, что излучение Хокинга не влияет на массовый параметр, чтобы сохранить времяподобный вектор Киллинга. Я не могу сказать, что произойдет, если отказаться от этого предположения, и у меня нет опыта для оценки документов для рекомендации. Возможно, это делает кто-то другой; вы можете попробовать открыть новый вопрос.
Хорошо, да, я также думаю, что расчет Хокинга сделан в предположении, что параметр массы постоянен. Но я подумал, что если нам не нужна явная формула для температуры, а мы просто предположим, что из-за квантово-механических эффектов ЧД излучает сферически-симметрично, тогда мы, вероятно, сможем использовать метрику Вайдья. Я отправлю отдельный вопрос по этому конкретному пункту.
Один момент, который я недавно понял и который, как мне кажется, еще больше сбивает меня с толку: $\nu$ входящей вайдьи, по построению, является координатой, которая является константой движения для входящего фотона. Это в каком-то смысле делает совершенно абсурдным трактовать ее как временную координату в обычном смысле слова.
Еще одно: можете ли вы предоставить ссылку, где я могу лучше понять, почему уходящий Вайдья описывает белую дыру? Причина, по которой я запутался, заключается в том, что исходящая вайдья не кажется той метрикой, которую можно получить, если изменить направление времени в метрике Шварцшильда на противоположное, а затем создать входящую вайдью для этой обратной метрики. Если бы это было так, то мне было бы совершенно ясно, что уходящая Вайдья — это просто белое целое. Спасибо!
@Dvij Что касается $\nu$ ( $v$ в моих обозначениях), вы правы в том, что это не обычная временная координата. Что касается уходящего Вайдьи, я думаю, что самым простым способом для вас было бы уточнить ваш аргумент, чтобы учесть, что ваш второй срок в вашей $(2)$ не равно нулю. Другой способ — сравнить координаты Крускала-Секереса и Эддингтона-Финкельштейна.

Ничего не падает в испаряющуюся черную дыру?

Кошка

Питер Шор

Кошка

Кошка

Кошка

Ответы (1)

Эрик Йоргенфельт

Кошка

Эрик Йоргенфельт

Кошка

Кошка

Кошка

Эрик Йоргенфельт

Мысленный эксперимент: сверхбыстрый толчок внутрь черной дыры

Температура Хокинга черной дыры BTZ

Когда две виртуальные частицы становятся реальными на горизонте черной дыры, уменьшается ли кривизна пространства-времени?

Горизонты событий недоступны наблюдателям, далеким от коллапса?

Почему испаряющаяся черная дыра всегда остается черной дырой?

Разве метрика Шварцшильда в сочетании с излучением Хокинга не означает, что ничто никогда не проходит за горизонт событий черной дыры?

Если я упаду в испаряющуюся черную дыру, где я окажусь?

Является ли поверхностная гравитация на нулевой поверхности тривиальной? (Уравнение Вальда 12.5.2)

Как показать, что площадь горизонта событий никогда не уменьшается?

Метрика испаряющейся черной дыры