Является ли поверхностная гравитация на нулевой поверхности тривиальной? (Уравнение Вальда 12.5.2)

В главе 12.5 текста общей теории относительности Роберта Уолда он рассматривает нулевую гиперповерхность с вектором нормали х а . По определению на нулевой гиперповерхности имеем х а х а "=" 0 . т.е., х а х а постоянна на гиперповерхности, поэтому мы тривиально находим, что ∇ а ( х б х б ) также должны быть нормальны к гиперповерхности. Затем Уолд утверждает, что, поскольку оба ∇ а ( х б х б ) и х а нормальны к гиперповерхности, они должны быть пропорциональны, т. е. должна существовать функция κ такой, что

(Вальд 12.5.2) ∇ а ( х б х б ) "=" − 2 κ х а .

Однако позже Уолд утверждает (ниже уравнения 12.5.15), что (Вальд 12.5.2) подразумевает ∇ а ( х б х б ) не равен нулю.

Вопрос : Не противоречит ли Вальд самому себе, по существу используя ∇ а ( х б х б ) "=" 0 подразумевает ∇ а ( х б х б ) ≠ 0 на нулевой поверхности?

Ответы (1)

Количество х 2 постоянна вдоль горизонта, а это означает, что в ( х 2 ) "=" 0 для любого вектора в в касательном пространстве к горизонту. Это также можно записать как в а ∇ а х 2 "=" 0 , и вектор ∇ а х 2 указывает нормальное направление.

Является ли поверхностная гравитация на нулевой поверхности тривиальной? (Уравнение Вальда 12.5.2)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v