Предположим, что существует предложение P, и мы начали обновлять наше доверие к нему с момента времени t0 до момента времени t100. Наше окончательное доверие к P оказалось равным 0,7 (при t100). Но предположим, что мы не собрали никакой релевантной информации о P после t100, и сейчас мы находимся в t1000000000000, несмотря на то, что мы тщательно искали доказательства, чтобы (опровергнуть) подтверждение того, что P. Должны ли мы обновить наше доверие в этом случае? Кажется, что мы не должны, поскольку ничто из того, что мы видели, не подтвердило (не подтвердило), является ли это P или не P.
Однако есть ли в этом случае у нас еще одна причина сомневаться в нашем доверии только из-за нашей неспособности наблюдать какую-либо соответствующую информацию о P?
Обозначим наше доверие к предложению P в момент времени t следующим образом: C t (P).
При t=100 имеем C 100 (P) = 0,7. Потом ждем очень-очень долго. Я не хочу писать столько нулей, сколько вы написали, так что давайте просто скажем, что после этого очень долгого времени время t=500. Вопрос, каким должен быть С 500 (Р)?
Во-первых, давайте согласимся (что очень часто), что достоверность обновляется посредством байесовской условной обработки. То есть C 500 (P) = C 100 (P|E), где E обозначает все доказательства, которые мы получаем между t=100 и t=500. Идея состоит в том, что мы спрашиваем в момент времени t=100: как бы мы поверили, если бы случайно узнали Е? Это C 100 (P|E). Затем мы фактически наблюдаем E. Байесовская кондиционализация говорит: наше новое доверие C 500 (P) должно быть нашим старым условным доверием C 100 (P|E). А наше старое условное доверие можно рассчитать по теореме Байеса: C 100 (P|E) = C 100 (E|P)C 100(П)/С 100 (Э).
Вы просите нас предположить, что мы «не собираем релевантной информации о P после t100». Возьмем крайний пример. Предположим, я сижу в черном ящике, тупо глядя, пока t=500. Какие доказательства я собрал? Ничего особенно интересного, но я собрал некоторые доказательства. Я узнал истинность утверждения «Я продолжал существовать с t=100 до t=500». Теперь, в зависимости от того, что такое P, это может быть важной информацией. Например, если P — это гипотеза «я бессмертен», и если время от t=100 до t=500 смехотворно велико для представителей моего вида, предположительно мое доверие к P должно возрасти при t=500. Нелепо долгая жизнь — хорошее свидетельство бессмертия. Но я предполагаю, что это не тот случай, который вы имеете в виду.
Итак, предположим, что P — это гипотеза «Все вороны черные». Тот факт, что я выжил с t=100 до t=500, интуитивно не соответствует этой гипотезе. И в такой вероятностной ситуации нерелевантность влечет за собой статистическую независимость. Пусть E будет всем свидетельством, которое я узнал в своем черном ящике. Поскольку E не имеет отношения к P, они статистически независимы, поэтому (по определению независимости) C 100 (E|P) = C 100 (E). Вы можете проверить, что, учитывая то, что я сказал выше, следует, что C 500 (P) = 0,7. Мои убеждения не изменились.
Однако вы также предполагаете, что мы «тщательно искали доказательства, чтобы (опровергнуть) подтверждение P». Ясно, что сидение в черном ящике не считается тщательным поиском улик! Итак, предположим, что мы тщательно ищем доказательства, но по-прежнему не находим ничего, что мы считаем относящимся к P. В этом случае, даже если мы искали и искали, аргумент, который я привел в предыдущем абзаце, остается, и наши убеждения остаются неизменными: C 500 (P ) = 0,7.
Теперь давайте представим один последний случай. Предположим, что наша гипотеза P такова: «Вороны довольно распространены на Земле». Затем мы лихорадочно путешествуем по земному шару в поисках воронов, но ничего не находим. Мы не находим очевидных доказательств их присутствия. Мы не находим заброшенных вороньих гнезд или свежих скелетов воронов. И мы также не находим каких-либо очевидных доказательств того, что (например) все они вымерли в результате какой-то экологической катастрофы. Мы просто осмотрели кучу мест и не нашли ничего явно связанного с воронами.
В этом случае заманчиво сказать, что мы не получили никаких доказательств, относящихся к P. Но на самом деле мы получили! Мы выучили предложение E, а именно: «Я не нашел воронов, хотя искал долго и упорно». Теперь давайте предположим, что при t=100 (до того, как мы соберем это свидетельство) наша уверенность в том, что мы наблюдаем это свидетельство, низка. Допустим, С 100 (Е) = 0,5. Но заметьте, что если наша гипотеза P («Вороны очень распространены на Земле») верна, то мы ожидаем, что доказательства будут очень маловероятными. Например, пусть C 100 (E|P) = 0,01. Это показывает, что E и P не являются статистически независимыми. Следовательно, E не может быть нерелевантным для P. Но действительно, байесовская кондиционализация говорит нам, что наша достоверность при t = 500 должна быть намного меньше 0,7.
Мораль этой истории: если ваше свидетельство E действительно не имеет отношения к P, то его наблюдение не может изменить вашего доверия к P.
Фактор доверия асимптотически возрастает до 1 по мере увеличения времени. Это происходит из-за отсутствия доказательств, опровергающих утверждение (а не из-за отсутствия доказательств, которые его доказывают).
Поскольку значение равно 0,7 при t = 100 (1x10^2), я предполагаю, что при t = 1x10^12 значение будет очень близко к 1!
вирмайор