Применение теоремы Байеса к Спящей красавице

Трудность здесь, по-видимому, заключается в том, что для расчета вероятности вам нужно знать, из какого пространства вы берете выборку, и по конструкции «Спящая красавица» требует, чтобы вы обращали внимание на это пространство. Есть два «интуитивных» пространства, и если вы смешаете оба, вы запутаетесь. Ниэль де Бодрап уже сказал об этом, но, учитывая количество путаницы, выраженной по поводу этой «проблемы», я хотел бы попытаться выразиться более четко:

Что «на самом деле» происходит, так это:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails    awaken    awaken

Самое смешное в этом то, что вы получаете два результата от одной из ветвей. Это не редко случается в вероятности и статистике, и это вообще не проблема, но надо решить, что с этим делать.

Проблема Спящей Красавицы обычно формулируется так: Мисс Красавица, по сути, проводит эксперимент каждый раз, когда просыпается. (Может быть, вы дадите ей печенье, если она права.) Итак, в половине случаев вы получаете один эксперимент, в половине случаев — два, и по построению задачи вы должны свалить все это в одну кучу. (Если бы у вас была армия Спящих Красавиц, и вы подсчитывали бы все ответы, это то, что вы хотели бы сделать.)

Итак, теперь у нас есть три awakens в нашем демонстрационном пространстве:

heads-awaken   tails-awaken-1   tails-awaken-2

которые все идентичны. Итак, если мы сделаем ваш расчет:

P(H|awaken) = P(awaken|H)*P(H)/P(awaken) = 1*(1/3)/1 = 1/3

Подождите, что это было?

P(H) = 1/3

Это довольно странно, но смотрите, нам не нужно было проводить вычисления, чтобы найти это. У нас есть выборочное пространство, которое по построению имеет головы только один раз из трех (умело построено из процесса, у которого 50% голов!). Так что это совершенно верно: априорная вероятность выпадения орла равна 1/3.

И Мисс Красавица, и все остальные согласились бы с этим еще до начала эксперимента (по крайней мере, если бы их статистика была выше).

В качестве альтернативы, если формулировка такова, что на самом деле существует неявная разница между разными пробуждениями (например, потому что последнее является частью постоянного опыта Мисс Красавицы, или потому что, если она один раз права и один раз ошибается на решке, вы захотите только дайте ей половину печенья, и вы не хотите ломать печенье, поэтому вы спрашиваете ее только один из двух раз на ветке решки), тогда она (и все остальные), возможно, должны сделать другой расчет:

p=1/2    heads    awaken
p=1/2    tails
     p=1/4        awaken
     p=1/4                   awaken

Логика здесь такова, что если вы находитесь на хвостовой ветке и просыпаетесь, 50% времени вы будете в первом экземпляре, а 50% времени вы будете во втором. В этом случае вы можете вычислить такие вещи, как

p(H|awaken#1) = p(awaken#1|H)*p(H)/p(awaken#1) = 1*(1/2)/(3/4) = 2/3

Это означает, что если вы знаете, что находитесь в разгаре эксперимента, и проснулись в первый раз, есть вероятность 2/3, что вы находитесь на ветке голов. ( p(H|awaken#2) = 0, и p(H) = 1/2по построению этого выборочного пространства.)

На самом деле это более гибкая структура для использования — она так же верна, как и другая; это просто другая формулировка, подходящая для расчета разных вещей. Ключ в том, чтобы распознать, как образное пространство отображается на то, что могло произойти на самом деле; если ваше тестовое пространство не соответствует заданному вами вопросу, вы получите неверный ответ.

Например, если Мисс Красавица хочет максимизировать количество присуждаемых ей печенек, и она получает по одному за каждое правильное предположение, она будет рассуждать так:

// I can pick only one option: H or T
// I will gain no information later so I may as well pick now

E(cookies) = sum(p(cookies)*#cookies)
If I pick H:
  p=1/2  right!         1 cookie
  p=1/2  wrong, wrong!  no cookie
  E(cookies) = (1/2 * 1  +  1/2 * 0) = (1/2 + 0) = 1/2
If I pick T:
  p=1/2  wrong!         no cookie
  p=1/2  right, right!  2 cookies
  E(cookies) = (1/2 * 0 + 1/2 * 2) = (0 + 1) = 1

Удвойте выигрыш, если я выберу T, даже если я думаю P(T) = 0.5.

Настоящая проблема возникает, когда смешиваются два пространства выборки. Во-первых, можно подумать, что, конечно, три события неразличимы по построению, так что p(H|awaken)= 1/3. И, конечно, монета честна, поэтому p(H)= 1/2. А потом p(awaken|H)= 1 и p(awaken)=и 1/3 != 1/2и... какого черта?

Знайте выборочное пространство, придерживайтесь его, и вероятность будет иметь смысл, даже если вы Спящая красавица.

[Примечание: см. также стенограмму моей беседы с Xoxarap.]

1. Независимо от того, была ли подброшена монета, вероятность — это просто модель того, как вы ожидаете, что события обернутся или обернутся, основываясь на имеющейся у вас информации. Не имея информации о результате монеты, не имеет значения, была ли она уже подброшена. Вероятностная модель, приписывающая вероятности на основе разного количества информации, остается неизменной и поэтому не зависит от времени, точно так же, как уравнения Ньютона предсказывают одно и то же поведение яблока, упавшего с высоты 1 м в одинаковых условиях как для вчера и завтра.

2. Вероятности лучше всего назначать относительно своего опыта мира. В задаче «Спящая красавица» восприятие мира принцессой искажено снотворным. Хотя наблюдатель без наркотиков может воспринимать монету как честную, Спящая Красавица воспринимает частоты монеты иначе.

   Проблема заключается в том, что Спящая Красавица переживает события headsи tailsс разной частотой по сравнению с контрольным наблюдателем. Без дополнительной информации Спящая красавица могла бы рационально присвоить различные вероятности исходам монеты, потому что мы намеренно искажаем ее опыт. Кроме того, хотя Спящая Красавица знает, что мы искажаем ее опыт, это не влияет на опыт, который она получит в результате искажения. Она могла бы логически заключить, что мы считаем монету честной, а также что она воспримет монету как нечестную. Таким образом, даже до участия в эксперименте она могла приписать априорную вероятность 1/3 для heads, по крайней мере, для своих собственных целей.

   «Спящая красавица» просто воспринимает другой вероятностный ансамбль, чем мы, и поэтому получает другую частоту, что не совсем отличается от того, как разные наблюдатели, движущиеся с разной скоростью, будут воспринимать звуки разной высоты из-за эффекта Доплера. И по аналогии со смещением высоты звука мы можем получить объединяющую вероятностную модель, которая не приписывает событию определенную вероятность heads, а описывает, какую вероятность каждый агент мог бы рационально приписать событию в зависимости от того, какому ансамблю будут подчинены его сознательные переживания. к.

Я так понимаю, что третий верит неP(Heads|Sleeping Beauty waking up at all)=1/3 в это (хотя это предполагается/подразумевается вашим дальнейшим аргументом), а в то, что the/an awake Sleeping Beauty's P(Heads|being awake at the/a moment of evaluation) should be 1/3. Это означало бы, что посылка вашего (дальнейшего) аргумента ложна («То есть [...]»). Следовательно, все, что следует ниже , может быть правильным , но неправильным .