«Обобщение на четырехмерные преобразования Лоренца» у Пескина и Шредера.

Что касается уравнения 3.16 на странице 39 Пескина и Шредера, мы сейчас говорим о С U ( 2 ) Группа и ее представления. Говорят, что мы можем записать образующие алгебры в виде антисимметричного тензора:

Дж я Дж "=" − я ( Икс я ∇ Дж − Икс Дж ∇ я ) , я , Дж "=" 1 , 2 , 3 ,
и что «обобщение на четырехмерные преобразования Лоренца теперь вполне естественно»:
(3.16) Дж мю ν "=" я ( Икс мю ∂ ν − Икс ν ∂ мю ) , мю , ν "=" 0 , 1 , 2 , 3.
«Скоро мы увидим, что эти шесть операторов генерируют три увеличения и три вращения группы Лоренца». Затем они переходят к рассмотрению конкретного 4 × 4 представление, заданное матрицами:
(3.18) ( Дж мю ν ) α β "=" я ( дельта α мю дельта β ν − дельта β мю дельта α ν ) .
Это образующие группы Лоренца в четырехвекторном представлении, но что такое образующие в уравнении 3.16? Они написаны в конкретном представлении? Каким образом они «обобщают» образующие С U ( 2 ) над ними написано?

Меня на самом деле очень смущает уравнение 3.16. Где метрика? Как вывести 3,17 из 3,16?

Ответы (1)

Я подозреваю, что вы не знакомы с (к счастью) расплывчатым языком физиков. Строго матричные реализации алгебры Ли и, следовательно, группы называются представлениями, подобно (3.18); но все остальное, включая (3.16) и его антецедент SU(2), просто называется реализациями: универсальными отображениями (в данном случае линейными), которые удовлетворяют алгебре Ли (3.17).

В этом случае вы видите, что (3.16) действует на 4-вектор Икс β сводится к действию матрицы 4×4 (3.18), т. е. четырехмерному представлению. Но действуя на более общие однородные функции координат (тензоры), оно давало бы другие представления.

Две реализации, с точностью до знаков и случайных метрик несжатия, должны быть связаны проверкой: это повороты в трехмерном и четырехмерном пространствах соответственно. Моя интуиция подсказывает, что вам понравятся книги Роберта Гилмора и Брайана Уайбурна, которые неустанно иллюстрируют этот язык.

Кажется, теперь я понимаю разницу. Когда мы смотрим на «представления», скажем, с ты ( 2 ) в котором элементы алгебры становятся дифференциальными операторами, действующими на пространстве функций, технически это просто «реализации» алгебры, поскольку их нельзя записать в виде матриц? Я предполагаю, что мой ответ на этот вопрос будет таким: верно ли это для всех бесконечномерных представлений? Так как они не могут быть записаны в виде матриц.
Да. Однако многие из них могут быть записаны в виде матриц, если предел бесконечности можно указать более или менее адекватно. Примерами являются алгебра Гейзенберга, алгебра ПБ и алгебра скобок Мойала.
Ок, отлично! Спасибо, что прояснили это :)
«Обобщение на четырехмерные преобразования Лоренца» у Пескина и Шредера.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v