Спиновые представления группы Лоренца

Question

Спиновые представления группы Лоренца

Набла

В контексте классической теории поля мы знаем, что неприводимые представления помечаются значениями двух операторов Казимира группы Пуанкаре: у нас могут быть массивные поля $P^2=m^2>0$ с определенным вращением $s$ , $W^2=m^2s(s+1)$ , или безмассовые поля $P^2=m^2=0$ с определенной спиралью $h$ , $W^\mu=h P^\mu$ .

Теперь я хочу получить все иррепрезентации группы Лоренца (представления Пуанкаре индуцируются ими) для различных значений $m$ и $s,h$ как проективные представления, то есть используя представление спиновой группы, которое покрывает $SO(1,3)$ . После некоторых шагов (см. это ) мы понимаем, что ищем комплексные представления $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ (то есть тензорное произведение двух копий одного и того же представления, и они действуют на биспинор, спинор и антиспинор), чтобы получить неприводимые унитарные представления группы Лоренца для разных типов полей (разные значения массы и спина /спиральность).

как нам это сделать?

Например:

Я хочу представление со спином 0 ( $m>0$ и $s=0$ ), поэтому я ожидаю, что, поскольку спина нет, представление спина тривиально $R_0(I_{\mu\nu})=0$ ( $I_{\mu\nu}$ являются 6 образующими группы Лоренца), которые действуют на «тривиальный биспинор», который представляет собой просто однокомпонентное вещественное поле (скалярное поле). Это легко
Я хочу спин- $1\over 2$ представление ( $m>0$ и $s={1\over 2}$ ), поэтому я ожидаю, что, поскольку $1\over 2$ -спинор имеет 2 компонента, представление спина $4\times 4$ сложная матрица $R_{1\over 2}(I_{\mu\nu})=\sigma_{\mu\nu}$ которые действуют на биспинор с 4 комплексными значениями (спинорное поле). Это тоже легко, поскольку мы знаем, что (Вейлевское) представление $SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$ в данном случае является лишь определяющим представлением $SL(2,\mathbb{C})$ $\times$ комплексное сопряжение определяющего представления $SL(2,\mathbb{C})$ .
Я хочу представление спина-1 ( $m>0$ и $s=1$ ), поэтому, используя те же аргументы, я ожидаю биспинор с 6 компонентами. Это верно? Как я могу сказать, что это четырехвекторное комплексное поле? Являются ли они двумя разными представлениями одного и того же поля (как представление Вейля и Дирака для $1\over 2$ -спиновые поля)?

Конечно, я знаю, что это четырехвекторное поле, но мне было интересно, есть ли «простой способ» сказать это, используя своего рода эвристический аргумент, подобный тому, который я использовал в предыдущих примерах.

Ответы (1)

Спиновые представления группы Лоренца

Иван Бурбано · Answer 1

Я бы посоветовал взглянуть на первую главу Streater, RF, & Wightman, AS (1989). PCT, спин и статистика, и все такое. Издательство Принстонского университета. Там отмечается, что все неприводимые конечномерные комплексные представления $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ имеют форму $D^{(j/2,k/2)}$

ξ_{α_{1} \dots α_{Дж} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{к}} \mapsto А_{α_{1}}^{р_{1}} \dots А_{α_{Дж}}^{р_{Дж}} {\bar{А}}_{{\dot{β}}_{1}}^{{\dot{о}}_{1}} \dots {\bar{А}}_{{\dot{β}}_{к}}^{{\dot{о}}_{к}} ξ_{р_{1} \dots р_{Дж} {\dot{о}}_{1} \dots {\dot{о}}_{к}},

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}\mapsto A_{\alpha_1}{}^{\rho_1}\cdots A_{\alpha_j}{}^{\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1}{}^{\dot{\sigma}_1}\cdots\bar{A}_{\dot{\beta}_k}{}^{\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_1\cdots\rho_j\dot{\sigma}_1\cdots\dot{\sigma}_k},$ где

ξ_{α_{1} \dots α_{j} {\dot{β}}_{1} \dots {\dot{β}}_{k}}

$\xi_{\alpha_1\cdots\alpha_j\dot{\beta}_1\cdots\dot{\beta}_k}$ симметричен относительно перестановок пунктирных и непунктирных индексов по отдельности.

Теперь перейдем к вашим примерам:

Спин $0$ представительство $D^{(0,0)}$ . В ней спиноры не имеют индексов $\xi$ и они тривиально трансформируются под $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ , так что они скаляры.
У нас есть два представления со спином 1/2. $D^{(1/2,0)}$ и $D^{(0,1/2)}$ соответствующие спинорам Вейля $\xi_\alpha$ и антивейлевские (?) спиноры $\bar{\xi}_\dot{\alpha}$ . Тогда поле Дирака находится, например, в $D^{(1/2,0)}\oplus D^{(0,1/2)}$ со спинорами Дирака $\psi_\mu=(\xi_\alpha,\bar{\xi}_\dot{\alpha})$ .
Представления спина 1 $D^{(1,0)}$ , $D^{(1/2,1/2)}$ , и $D^{(0,1)}$ . Средний — стандартное векторное представление. $D^{(1/2,1/2)}=D^{(1/2,0)}\otimes D^{(0,1/2)}$ состоящая из спиноров вида $\xi_{\alpha\dot{\beta}}$ . То, что они 4-векторы, видно из стандартного изоморфизма $x_{\alpha\dot{\beta}}\mapsto x_\mu:=x_{\alpha\dot{\beta}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , где $\sigma_\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . Действительно, с помощью этого изоморфизма видно, что четыре вектора несут представление $\text{SL}(2,\mathbb{C})$ . Чтобы увидеть это, мы сначала заметим, что обратный этому изоморфизму просто $x_{\alpha\dot{\beta}}=x_\mu\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}}$ , где $\sigma^\mu=(1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ . Индексация в этих сигма-матрицах отличается от индексации для предыдущих, поскольку предполагается, что они представляют обратную матрицу. Так уж получилось, что матрица, обратная матрице Паули, есть она сама. Тогда представление на 4-векторах есть $x_\mu\mapsto A_\alpha{}^{\rho}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}x_\nu\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}$ , т.е. вектор $x_\mu$ меняется через матрицу $\Lambda_\mu{}^\nu=\sigma_\mu^{\dot{\beta}\alpha}A_\alpha{}^{\rho}\sigma^\nu_{\rho\dot{\sigma}}\bar{A}_{\dot{\beta}}{}^{\dot{\sigma}}$ . Можно показать, что это находится в компоненте связности тождества в преобразованиях Лоренца. Более подробную информацию об этом можно найти у Haag, R. (1996). Локальная квантовая физика (2-е изд.). Спрингер Берлин Гейдельберг. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61458-3 . Однако появляются и другие представления со спином 1. Например, представление $D^{(1,0)}$ задается антисимметричными самодуальными тензорами $B_{\mu\nu}$ . Используя тот факт, что любой 2-тензор $F_{\mu\nu}$ можно разложить на самодуальную и антисамодуальную части, можно видеть, что, например, тензор напряженности поля Максвелла преобразуется в $D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}$ .

Еще одним интересным источником для этого является Ramond, P. (1990). Теория поля: современный учебник для начинающих (второй). Вествью Пресс.

У меня все еще есть некоторые проблемы с представлением спина-1. Вы говорите, что спиноры в $D^{(1/2,1/2)}$ изоморфны 4-векторам, но для представления группы Лоренца вам не нужно тензорное произведение двух представлений? Например, в спин- $1/2$ представление, где вы используете прямую сумму двух представлений, чтобы получить неприводимое представление, которое вам нужно для представления преобразования Лоренца на спин- $1/2$ поле. Я не понимаю, как вы делаете это в спине-1.
$D^{(1/2,1/2)}$ действительно является тензорным произведением представлений $D^{(1/2,0}$ и $D^{(0,1/2)}$ . Я добавлю больше деталей о том, как это приводит к векторному представлению группы Лоренца. Это не связано (по крайней мере, насколько мне известно) с процедурой построения дираковского представления. Представления $D^{(1/2,0)}$ и $D^{(0,1/2)}$ сами по себе дают совершенно хорошие спиновые 1/2 поля. Они обычно объединяются в поле Дирака, потому что массовые члены обычно их смешивают.
Однако вполне нормально рассматривать любую теорию с фермионами Дирака в терминах фермионов Вейля. Я думаю, например, что это делает стандартную модель более понятной. Поля в одном из представлений взаимодействуют посредством слабого взаимодействия, а поля в другом нет. Может быть, вы можете немного уточнить свой вопрос, чтобы я мог помочь вам лучше.

Спиновые представления группы Лоренца

Набла

Ответы (1)

Иван Бурбано

Набла

Иван Бурбано

Иван Бурбано

Являются ли спиноры представлениями группы Лоренца или связанной с ней алгебры?

Какая связь между SL (2, C) SL (2, C) SL (2, \ mathbb {C}), SU (2) × SU (2) SU (2) × SU (2) SU (2) \ раз SU (2) и SO (1,3) SO (1,3) SO (1,3)?

Спиноры и спиновая группа

Почему (12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление группы Лоренца реализуется как векторное пространство эрмитова 2×22×22\ умножить на 2 матрицы?

Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Как из свойства матриц Паули следуют простые двухкомпонентные тождества Фирца?

Как доказать спинорное преобразование Вейля как представление группы Лоренца?

Калибровочная инвариантность и форма действия Рариты-Швингера

Массивные спин-сс-представления группы Пуанкаре на пространстве спиновых тензорных полей

Вопрос о майорановском фермионе и майорановском представлении