Значение генераторов Лоренца

The $L_{\mu\nu}$являются инфинитезимальными генераторами преобразования Лоренца на пространстве полей/функций . Если вы хотите рассматривать их как операторы в гильбертовом пространстве, просто рассмотрите гильбертово пространство функций, интегрируемых с квадратом. Коммутаторы$L_{\mu\nu}$являются коммутационными соотношениями алгебры Ли$\mathfrak{so}(1,3)$, поэтому они образуют представление указанной алгебры.

Греческие индексы на самом деле означают, что$L_{\mu\nu}$является тензором Лоренца - просто проверьте, что происходит с ним при преобразовании$x\mapsto \Lambda x$. Они на самом деле генерируют преобразования Лоренца в том смысле, что если вы просматриваете$L_{\mu\nu}$как векторные поля в пространстве Минковского$\mathbb{R}^{1,3}$, то интегральные кривые этих векторных полей имеют вид$x(t) = \Lambda(t)x_0$, куда$\Lambda(t)$есть преобразование Лоренца, действующее на произвольную начальную точку$x_0$интегральной кривой. Это также объясняется более подробно в статье Википедии об алгебре Ли группы Лоренца .

Вы должны читать эту сумму как сумму тензорного произведения. У вас есть «естественное» представление$L_{\mu\nu}$на пространстве функций, и теперь, в квантовой механике, вы можете дополнительно иметь «внутренние» спиновые степени свободы, например, спинорное поле, такое как спинорное поле Дирака. Затем вы берете свое пространство функций с действительным знаком$F$и спинорное пространство$\mathbb{C}^4$, где$L$воздействовать на$F$и действие алгебры Лоренца на$\mathbb{C}^4$дается$S$, и образуют объединенное пространство$F\otimes\mathbb{C}^4$спинорнозначных полей/функций. Тогда действие алгебры Лоренца на этом пространстве задается выражением$L_{\mu\nu}\otimes 1 + 1\otimes S_{\mu\nu}$, который часто небрежно записывается как$L+S$.