Обобщенные силы и потенциальная энергия

Question

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Сил
Физика
Работа
Лагранжиан-формализма
Потенциальная-энергия
Сдерживаются-динамика

Кристиан Шнорр

Рассмотрим (консервативную) систему $N$ $N$ $N$ частицы с ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{р}}_{я}$ быть их позиции.

В этой системе между этими частицами существуют силы притяжения и отталкивания. ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ должна быть чистая сила, действующая на частицу $i$ $i$ $я$ в какой-то конфигурации системы.

А пока давайте рассмотрим, что на частицы не распространяются никакие ограничения, т. Е. Их можно было бы найти на ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{р}}_{я} \in р^{2}$ , Моя интуиция заключается в том, что смещение частицы на бесконечно малое расстояние в направлении чистой силы ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ действие, то есть «уступка» силе, уменьшит потенциальную энергию системы в зависимости от способа определения физической работы:

W знак равно \int F (s) d s

Правильна ли моя интуиция? Как я могу формально доказать это?

Давайте теперь рассмотрим, что система подвержена некоторым ограничениям. Мы можем использовать обобщенные координаты $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{q} = (q_{1}, \dots, q_{n})$ $\vec{Q} знак равно (Q_{1}, ..., Q_{N})$ описать конфигурацию системы, неявно удовлетворяющую всем ограничениям.

Я читал об обобщенных силах, которые определены как

Q_{J} знак равно Σ_{я знак равно 1}^{N} {\vec{F}}_{я} \cdot \frac{\partial {\vec{р}}_{я}}{\partial Q_{J}}, J знак равно 1, ..., N,

Моя интуиция здесь заключается в том, чтобы настроить обобщенную координату $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ на бесконечно малую величину в направлении $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{я}$ снова уменьшит потенциальную энергию системы. Эта интуиция все еще верна? Как сдерживающие силы играют в этом? Нужно ли включать тех, кто в ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ ? Опять же, как я мог доказать эту интуицию?

ZeroTheHero

Если частицы свободны - как указано в «давайте рассмотрим, что все частицы свободны», то на них не действует сила, действующая на них, и поэтому ваш вопрос является недействительным.

Кристиан Шнорр

@ZeroTheHero Частица не должна подвергаться каким-либо ограничениям и может быть найдена в любом

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{r}}_{i} \in R^{2}

{\vec{р}}_{я} \in р^{2}

, Как бы вы назвали такую частицу?

ZeroTheHero

бесплатно ** из ограничений **

Ответы (4)

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Если частицы свободны - как указано в «давайте рассмотрим, что все частицы свободны», то на них не действует сила, действующая на них, и поэтому ваш вопрос является недействительным.
@ZeroTheHero Частица не должна подвергаться каким-либо ограничениям и может быть найдена в любом ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{r}}_{i} \in R^{2}$ ${\vec{р}}_{я} \in р^{2}$ , Как бы вы назвали такую частицу?

ЧР Дрост · Answer 1

Предварительные комментарии, которые сделают вещи очевидными

Рассмотрим (консервативную) систему $N$ $N$ $N$ частицы с ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{r}}_{i}$ ${\vec{р}}_{я}$ быть их позиции.

О, хорошо. Так что, возможно, существует некоторая функция потенциальной энергии $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots, {\vec{r}}_{N}) .$ $U ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}, ..., {\vec{р}}_{N}),$

В этой системе между этими частицами существуют силы притяжения и отталкивания. ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ должна быть чистая сила, действующая на частицу $i$ $i$ $я$ в какой-то конфигурации системы.

Хорошо, так что технически нам нужно немного $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{i} = (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial y_{i}}, \frac{\partial}{\partial z_{i}})$ $\nabla_{я} знак равно (\frac{\partial}{\partial {Икс}_{я}}, \frac{\partial}{\partial Y_{я}}, \frac{\partial}{\partial Z_{я}})$ операторы, а затем ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U .$ ${\vec{F}}_{я} знак равно - \nabla_{я} U,$ Нет проблем.

Похоже, вы, возможно, не очень знакомы с частными производными; основная история в том, что в $D$ $D$ $D$ пространство $R^{D}$ $R^{D}$ $R^{D}$ $R^{D}$ $р^{D}$ мы приближаем функцию от $R^{D - 1} \to R,$ $R^{D - 1} \to R,$ $R^{D - 1} \to R,$ $R^{D - 1} \to R,$ $R^{D - 1} \to R,$ $R^{D - 1} \to R,$ $р^{D - 1} \to р,$ который вырезает некоторые $D - 1$ $D - 1$ $D - 1$ "гиперповерхность" $D - 1$ $D - 1$ $D - 1$ "гиперплоскости", плоские и касательные к поверхности. Другими словами, эта функция $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ $x_{D} = f (x_{1}, x_{2}, \dots x_{D - 1})$ ${Икс}_{D} знак равно е ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, ... {Икс}_{D - 1})$ считается примерно равным плоскости $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ $x_{D} = c_{0} + c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{D - 1} x_{D - 1}$ ${Икс}_{D} знак равно с_{0} + с_{1} {Икс}_{1} + с_{2} {Икс}_{2} + \dots + с_{D - 1} {Икс}_{D - 1}$ в небольшом районе около какой-то точки. Эти условия $c_{i}$ $c_{i}$ $c_{i}$ $c_{i}$ $с_{я}$ являются "частной производной $f$ $f$ $е$ по отношению к его $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ $я^{го}$ аргумент, поддерживающий другие аргументы постоянными, «который является математически истинным способом рассмотрения частных производных, хотя другой способ (который вы, вероятно, научили сначала думать о них) не слишком далек от него. ¹ Конечно, мы можем повторить этот процесс в каждой точке, получая новую касательную плоскость, так что это действительно $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $c_{i} (x_{1}, \dots, x_{D - 1}) .$ $с_{я} ({Икс}_{1}, ..., {Икс}_{D - 1}),$ Мы можем эквивалентно получить поверхностные нормальные векторы к этим поверхностям, поднявшись на одно измерение выше и определив $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $g (x_{1} \dots x_{D}) = f (x_{1} \dots x_{D - 1}) - x_{D}$ $грамм ({Икс}_{1} ... {Икс}_{D}) знак равно е ({Икс}_{1} ... {Икс}_{D - 1}) - {Икс}_{D}$ и принимая $D$ $D$ $D$ градиент $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla g = [c_{1}, \dots c_{D - 1}, - 1],$ $\nabla грамм знак равно [с_{1}, ... с_{D - 1}, - 1],$ если вы предпочитаете думать об этом таким образом. ²

Вопрос 1: работа снижает потенциальную энергию.

Моя интуиция заключается в том, что смещение частицы на бесконечно малое расстояние в направлении чистой силы ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ ... уменьшит потенциальную энергию системы ... Верна ли моя интуиция? Как я могу формально доказать это?

Да, ваша интуиция верна. Новая потенциальная энергия после движения частицы $i$ $i$ $я$ на сумму $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{r}}_{i}$ $δ {\vec{р}}_{я}$ является

U + δ_{я} U знак равно U ({\vec{р}}_{1}, ... {\vec{р}}_{я - 1}, {\vec{р}}_{я} + δ {\vec{р}}_{я}, {\vec{р}}_{я + 1}, ... {\vec{р}}_{N}),

Приближение с касательной плоскостью говорит

δ_{я} U знак равно U (..., {Икс}_{я} + δ {Икс}_{я}, Y_{я} + δ Y_{я}, Z_{я} + δ Z_{я}, ...) - U \approx \frac{\partial U}{\partial {Икс}_{я}} δ {Икс}_{я} + \frac{\partial U}{\partial Y_{я}} δ Y_{я} + \frac{\partial U}{\partial Z_{я}} δ Z_{я},

или с немного большей краткостью и общностью мы бы сказали, что для любого бесконечно малого смещения частиц системы

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ r = {δ {\vec{r}}_{i}}

δ р знак равно {δ {\vec{р}}_{я}}

мы меняем потенциальную энергию

δ U знак равно \nabla U \cdot δ р знак равно \underset{я}{Σ} \nabla_{я} U \cdot δ {\vec{р}}_{я},

Надеюсь, это достаточно ясно,

\nabla

\nabla

\nabla

быть полным

3 N

3 N

3 N

градиент

\nabla знак равно (\frac{\partial}{\partial {Икс}_{1}}, \frac{\partial}{\partial Y_{1}}, \frac{\partial}{\partial Z_{1}}, \frac{\partial}{\partial {Икс}_{2}}, ...)

и

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

r = (x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, \dots)

р знак равно ({Икс}_{1}, Y_{1}, Z_{1}, {Икс}_{2}, ...)

быть полным

3 N

3 N

3 N

положение Я буду использовать их снова через минуту.

Во всяком случае, по определению потенциальной энергии как функции, которая решает эти дифференциальные уравнения, ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{i} = - \nabla_{i} U,$ ${\vec{F}}_{я} знак равно - \nabla_{я} U,$ ясно, что $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U = \sum_{i} \nabla_{i} U \cdot δ {\vec{r}}_{i} = - \sum_{i} {\vec{F}}_{i} \cdot δ {\vec{r}}_{i},$ $δ U знак равно \underset{я}{Σ} \nabla_{я} U \cdot δ {\vec{р}}_{я} знак равно - \underset{я}{Σ} {\vec{F}}_{я} \cdot δ {\vec{р}}_{я},$ это именно то, что вы просили доказать. Если вы держите $N - 1$ $N - 1$ $N - 1$ $N - 1$ $N - 1$ из них исправлены $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{r}}_{i} = 0$ $δ {\vec{р}}_{я} знак равно 0$ и меняются только один из них $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{r}}_{k} \neq 0$ $δ {\vec{р}}_{К} \neq 0$ вы меняете потенциальную энергию $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U = - \nabla_{k} U \cdot δ {\vec{r}}_{k} .$ $δ U знак равно - \nabla_{К} U \cdot δ {\vec{р}}_{К},$

Вопрос 2: тот же вопрос с обобщенными силами

Моя интуиция здесь заключается в том, чтобы настроить обобщенную координату $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ на бесконечно малую величину в направлении $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{я}$ снова уменьшит потенциальную энергию системы. Эта интуиция все еще верна?

Я имею в виду, что самый простой способ сделать это (и любую работу с силами принуждения) - это работать с лагранжианом системы, и в этом случае вы можете изо всех сил пытаться определить «потенциальную энергию» с самым простым определением, приводящим к нарушению вашей интуиции. ³ Однако ваше определение «обобщенной силы» и определение «обобщенной силы» Лагранжа не эквивалентны.

С вашим определением кажется простым сказать:

\underset{К}{Σ} U_{К} δ Q_{К} знак равно \underset{я К}{Σ} {\vec{F}}_{я} \cdot \frac{\partial {\vec{р}}_{я}}{\partial Q_{К}} δ Q_{К} знак равно \underset{я}{Σ} {\vec{F}}_{я} \cdot δ {\vec{р}}_{я} знак равно - δ U,

как указано выше. Лагранжев формализм включает в себя то, что можно назвать «силами инерции», в свою обобщенную силу, в то время как ваше определение этого не делает. Все, что вам действительно нужно, это утверждение

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\sum_{k} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} δ q_{k} = δ {\vec{r}}_{i},

\underset{К}{Σ} \frac{\partial {\vec{р}}_{я}}{\partial Q_{К}} δ Q_{К} знак равно δ {\vec{р}}_{я},

но просто посмотрите на его

x, y, z

x, y, z

x, y, z

x, y, z

Икс, Y, Z

компоненты, и вы увидите ту же историю, которую мы повторили пару раз, что если у вас есть

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

x_{i} (q_{1}, q_{2}, \dots)

{Икс}_{я} (Q_{1}, Q_{2}, ...)

тогда

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ x_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} δ q_{1} + \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} δ q_{2} + \dots,

δ {Икс}_{я} знак равно \frac{\partial {Икс}_{я}}{\partial Q_{1}} δ Q_{1} + \frac{\partial {Икс}_{я}}{\partial Q_{2}} δ Q_{2} + ...,

и вышеприведенное уравнение справедливо как тривиальное обобщение.

Итак, еще раз, есть определение «обобщенной силы», которая не будет подчиняться вашей интуиции, хотя может быть определение «обобщенной потенциальной энергии», которая затем поможет вам снова ... но ваше определение не таково, и будет всегда подчиняйся своей интуиции. (Если вы не читали сноску, другое определение гласит: «Вот мои обобщенные импульсы $p_{i}$ $p_{i}$ $p_{i}$ $p_{i}$ $п_{я}$ Мои обобщенные силы $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d p_{i} / d t .$ $d п_{я} / d T,$ «Вот почему вы получаете там силы инерции, если ваши координаты их учитывают.)

Вопрос 3: силы ограничения

Как сдерживающие силы играют в этом? Нужно ли включать тех, кто в ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ ? Опять же, как я мог доказать эту интуицию?

Ну, что самое простое, что работает? Скажем, у вас есть какое-то ограничение $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $f ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, \dots {\vec{r}}_{N}) = C .$ $е ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}, ... {\vec{р}}_{N}) знак равно С,$ Мы можем смоделировать это, добавив к $U$ $U$ $U$ некоторый термин $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [f (\dots) - C]^{2}$ $α [е (...) - С]^{2}$ для некоторых очень больших $α,$ $α,$ $α,$ это приведет к тому, что стоимость энергии для преодоления ограничений станет чрезвычайно высокой.

В результате обобщенная сила, следовательно, также имеет этот очень большой термин, $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} + 2 α f \nabla f \cdot \frac{\partial r}{\partial q_{i}} .$ $Q_{К}^{'} знак равно Q_{К} + 2 α е \nabla е \cdot \frac{\partial р}{\partial Q_{я}},$ (Сказал, что я бы использовал это снова!) Или это? Что означает, что движение подчиняется ограничениям? Это действительно означает, что $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ f = \nabla f \cdot δ r$ $δ е знак равно \nabla е \cdot δ р$ должно быть $0$ $0$ $0$ сохранить $f (\dots) = C .$ $f (\dots) = C .$ $f (\dots) = C .$ $f (\dots) = C .$ $f (\dots) = C .$ $f (\dots) = C .$ $е (...) знак равно С,$ Так что, если все эти $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ соблюдайте ограничение индивидуально, затем каждый $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial r / \partial q_{i}$ $\partial р / \partial Q_{я}$ должно быть перпендикулярно $\nabla f$ $\nabla f$ $\nabla е$ заставить $δ f = 0.$ $δ f = 0.$ $δ f = 0.$ $δ f = 0.$ $δ f = 0.$ $δ f = 0.$ $δ е знак равно 0.$ SP на самом деле $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{k}^{'} = Q_{k} .$ $Q_{К}^{'} знак равно Q_{К},$ Хотя мы беспокоимся, потому что $α$ $α$ $α$ огромен, мы можем расслабиться именно потому, что наши координаты воплощают, никогда не нарушают, ограничения.

Вопрос 4: принцип минимальной энергии

[в комментарии] «Точно так же, как вы докажете, почему сжатая или вытянутая пружина перейдет в положение равновесия». - это имеет смысл для меня; но я до сих пор не знаю, как формально это доказать.

На самом деле это довольно сложно доказать в консервативной системе, как и должно быть, потому что энергия сохраняется, и сжатая пружина не должна легко возвращаться в свое положение равновесия, а должна колебаться вокруг нее! Самый простой способ - это заметить, что силы сопротивления обычно противодействуют скорости и, следовательно, выполняют отрицательную работу, что приводит к ожиданию полной минимизации энергии: кинетическая энергия минимизируется при $v_{i} = 0$ $v_{i} = 0$ $v_{i} = 0$ $v_{i} = 0$ $v_{i} = 0$ $v_{i} = 0$ $v_{я} знак равно 0$ , потенциальная энергия сводится к минимуму везде.

Чтобы сохранить систему консервативной, самый большой механизм состоит в том, чтобы слабо связать ее с бесконечным числом других степеней свободы, например, осцилляторов, а затем вывести уравнения движения и принять пределы и приближения, которые игнорируют все больше и больше других степеней свободы. свобода и энергия в них. Вы находите аналогичный поток энергии «из» той части системы, которая нам небезразлична, и из «той части, которая нас не волнует». Затем вы понимаете, что должен быть поток обратно, когда энергия становится достаточно низкой: et voilà, вы заново открыли тепловые флуктуации.

Некоторые сноски

Вы, вероятно, вместо этого учились принимать производную по отношению к символическому выражению $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $p (x_{1}, \dots x_{n})$ $п ({Икс}_{1}, ... {Икс}_{N})$ удерживая $D - 2$ $D - 2$ $D - 2$ другие символические выражения $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $q_{i} (x_{1}, \dots x_{n})$ $Q_{я} ({Икс}_{1}, ... {Икс}_{N})$ константа, где часто символические выражения очень тривиальны, как $p = x_{1}$ $p = x_{1}$ $p = x_{1}$ $p = x_{1}$ $п знак равно {Икс}_{1}$ но иногда они сложны как $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} .$ $р знак равно \sqrt{{Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{2}^{2} + {Икс}_{3}^{2}},$ Это не так сложно определить, теоретически. Требуется инвертировать эти символические выражения, чтобы решить их для некоторых функций $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ $x_{i} (p, q_{1}, q_{2}, \dots q_{D - 2})$ ${Икс}_{я} (п, Q_{1}, Q_{2}, ... Q_{D - 2})$ а затем подставить их, определяя $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $g (p, \vec{q}) = f (x_{1} (p, \vec{q}), x_{2} (p, \vec{q}), \dots)$ $грамм (п, \vec{Q}) знак равно е ({Икс}_{1} (п, \vec{Q}), {Икс}_{2} (п, \vec{Q}), ...)$ , Производная от $g$ $g$ $грамм$ что касается его первого аргумента, то это определение для «производной $f$ $f$ $е$ по отношению к символическому выражению $p$ $p$ $п$ держа другие символические выражения для другого $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ константа «.
Я просто хотел упомянуть, что если вы рассматриваете градиенты как нормальные векторы для наборов уровней $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $грамм (...) знак равно С$ тогда вы получите хорошую интерпретацию множителей Лагранжа как векторных пересчетов. "Увеличивать $f$ $f$ $е$ на $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $g (\dots) = C$ $грамм (...) знак равно С$ тогда вам нужно сделать шаг в направлении $\nabla f$ $\nabla f$ $\nabla е$ , конечно, вы не можете сделать этот шаг точно, но вы можете сделать шаг в направлении проекции, нормальной к $\nabla g$ $\nabla g$ $\nabla грамм$ , $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla f - (\nabla f \cdot \nabla g) \nabla g / | \nabla g |^{2},$ $\nabla е - (\nabla е \cdot \nabla грамм) \nabla грамм / | \nabla грамм |^{2},$ и все же увеличить его. Единственный способ достичь максимума - это если предыдущий шаг никуда нас не приведет, потому что он равен нулю, потому что два вектора $\nabla f$ $\nabla f$ $\nabla е$ и $\nabla g$ $\nabla g$ $\nabla грамм$ параллельны, $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla f = λ \nabla g$ $\nabla е знак равно λ \nabla грамм$ "Бум, $λ$ $λ$ $λ$ ваш множитель Лагранжа
Лагранжиан консервативной системы частиц $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L = \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2} / 2 - U,$ $L знак равно \underset{я}{Σ} м_{я} v_{я}^{2} / 2 - U,$ повторно выражены в терминах координат ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${q_{i}, {\dot{q}}_{i}}$ ${Q_{я}, {\dot{Q}}_{я}}$ которые воплощают ваши ограничения напрямую. Уравнения Эйлера-Лагранжа задают обобщенный импульс $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ $п_{я} знак равно \partial L / \partial {\dot{Q}}_{я}$ для каждой координаты $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ и обобщенная сила $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{i} \partial L / \partial q_{i},$ $F_{я} \partial L / \partial Q_{я},$ затем скажу вам, что уравнения движения всегда $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d p_{i} / d t = F_{i},$ $d п_{я} / d T знак равно F_{я},$ и снова нет необходимости возиться с ограничениями. С учетом сказанного не всегда так очевидно, как восстановить понятие «потенциальной энергии» из лагранжиана, но проще всего определить гамильтониан $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $H = - L + \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i},$ $ЧАС знак равно - L + \underset{я}{Σ} п_{я} {\dot{Q}}_{я},$ который интуитивно $H = K + U$ $H = K + U$ $H = K + U$ $H = K + U$ $H = K + U$ $H = K + U$ $ЧАС знак равно К + U$ к лагранжиану $L = K - U$ $L = K - U$ $L = K - U$ $L = K - U$ $L знак равно К - U$ следовательно, вы получите $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U = (H - L) / 2 = - L + \frac{1}{2} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} .$ $U знак равно (ЧАС - L) / 2 знак равно - L + \frac{1}{2} \underset{я}{Σ} п_{я} {\dot{Q}}_{я},$ Теперь вы можете видеть, «это зависит». очевидно $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{i} δ q_{i} = δ_{i} L$ $F_{я} δ Q_{я} знак равно δ_{я} L$ основанный на определении обобщенной силы, поэтому, если это положительно, то главный член отрицателен, и потенциальная энергия «хочет» уменьшиться. Однако если некоторые $p_{k}$ $p_{k}$ $p_{k}$ $p_{k}$ $п_{К}$ зависит от $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ и ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{q}}_{k}$ ${\dot{Q}}_{К}$ уже очень велико, вполне может увеличиться Примером этого может быть вращающаяся система, в которой момент импульса работает как $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $p_{θ} = \partial L / \partial \dot{θ} = m r^{2} \dot{θ},$ $п_{θ} знак равно \partial L / \partial \dot{θ} знак равно м р^{2} \dot{θ},$ шаг к большему $r$ $r$ $р$ при высоких значениях $\dot{t} h e t a$ $\dot{t} h e t a$ $\dot{t} h e t a$ $\dot{t} h e t a$ $\dot{t} h e t a$ $\dot{t} h e t a$ $\dot{T} час е T$ может увеличиться $L$ $L$ $L$ но увеличить $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $p_{θ} \dot{θ}$ $п_{θ} \dot{θ}$ больше, так что $U$ $U$ $U$ увеличивается, хотя $L$ $L$ $L$ тоже увеличивается По сути, это термин центробежной силы, притягивающий предмет к потенциалу, который хочет удержать его ближе к центру; обобщенная сила включает в себя центробежную силу, но приведенное выше определение потенциальной энергии не делает, поэтому, когда центробежная сила сильнее, чем потенциал, вы видите ситуацию, когда обобщенная сила указывает в направлении, которое увеличивает общую потенциальную энергию, а не уменьшает ее ,

0Tech · Answer 2

Мы используем термин «энергия», потому что он тесно связан с работой. Отношение между потенциальной энергией и работой - это не то, что вы можете доказать, а то, что мы определили .

Если вы сначала ввели потенциальную энергию, вы можете определить силу для частицы следующим образом:

\vec{F} (\vec{р}) знак равно - \frac{d U}{d \vec{р}} (\vec{р})

Вы можете рассчитать работу от силы выше.

ИЛИ, если вы сначала ввели силу, вы определяете (разность) потенциальной энергии следующим образом:

U ({\vec{р}}_{е}) - U ({\vec{р}}_{я}) знак равно - \int_{{\vec{р}}_{я}}^{{\vec{р}}_{е}} \vec{F} (\vec{р}) \cdot d \vec{р}

нота: $U$ $U$ $U$ должно быть консервативным, иначе отношение будет нечетким. И ты знаешь условие для консервативной части;)

Кстати, вы можете увеличить потенциальную энергию системы, перемещая частицу на бесконечно малое расстояние.

Не могли бы вы привести пример того, как потенциальная энергия системы будет увеличиваться при перемещении частицы на бесконечно малое расстояние в направлении, куда ее тянет чистая сила?
@ChristianSchnorr Извините, я неправильно прочитал. Вы поняли. Если направление силы на частицу и смещение, которое вы применили, параллельно, вы увеличиваете потенциальную энергию. Если они антипараллельны, с другой стороны, вы уменьшаете (уменьшаете) потенциальную энергию.
Вы перепутали два? Ваше утверждение в настоящее время противоречит моему. Кроме того, применимо ли это к обобщенным координатам / силам? Зачем?
@ChristianSchnorr Сила, которую я имел в виду, была силой системы (кроме частицы), в то время как в своем утверждении вы имели в виду (я думаю) силу, которую вы должны применить, чтобы кинетическая энергия частицы не изменилась . Ясно, что направления сил противоположны (их сумма равна нулю).
Меня не волнует кинетическая энергия. Меня интересует только потенциальная энергия системы. Очевидно, я могу рассчитать чистую силу для каждой частицы. Теперь мой вопрос: если смещение одной частицы на бесконечно малое расстояние в направлении суммарной силы на этой частице уменьшит потенциальную энергию системы.

physicopath · Answer 3

Потому что первое предложение вопроса

Рассмотрим (консервативную) систему $N$ $N$ $N$ частицы с $\vec{r_{i}}$ $\vec{r_{i}}$ $\vec{r_{i}}$ $\vec{r_{i}}$ $\vec{r_{i}}$ $\vec{r_{i}}$ $\vec{р_{я}}$ их позиции.

Я предполагаю, что в обеих частях вашего вопроса вы говорите о консервативной системе.

Позвольте мне попытаться ответить на первую часть.

Если система находится в равновесии, то полная энергия системы минимальна, а полная сила в системе равна нулю. Если система не находится в равновесии и нет никаких ограничений на частицы, то частицы будут двигаться (приспосабливаться), пока они не уменьшат полную энергию и не уменьшат силу.

Вы говорите, что

$\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{i}}$ $\vec{F_{я}}$ должна быть чистая сила, действующая на частицу $i$ $i$ $я$ в какой-то конфигурации системы.

Это означает, что это не равновесная конфигурация, и частицы будут двигаться, пока «мы надеемся», они не найдут минимум поверхности потенциальной энергии и не осядут там (конечно, есть вероятность того, что система окажется в ловушке локального минимума). Поэтому я согласен с вашим утверждением:

Моя интуиция заключается в том, что смещение частицы на бесконечно малое расстояние в направлении чистой силы уменьшит потенциальную энергию системы.

А ты спроси

Как я могу формально доказать это?

Точно так же, как вы докажете, почему сжатая или вытянутая пружина перейдет в положение равновесия.

Во второй части вашего вопроса вы говорите об обобщенной силе (пожалуйста, ответьте на мою вторую часть с небольшой долей соли). Насколько я знаю в лагранжевом формализме (я использую это потому, что одним из тегов вопроса является лагранжево-формализм), уравнение движения Лагранжа можно записать в виде

\frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{я}}}) - (\frac{\partial L}{\partial Q_{я}}) знак равно 0

и это верно только для консервативных систем, в противном случае уравнение гласит

\frac{\partial}{\partial T} (\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_{я}}}) - (\frac{\partial L}{\partial Q_{я}}) знак равно Q_{я}

То есть консервативные силы, о которых вы говорите в первой части вашего вопроса, привлекательные и отталкивающие и удерживающие систему вместе, - это не те силы, о которых вы говорите во второй части.

В любом случае, если в вашей системе есть неконсервативные (которые не выводятся из потенциала) силы для расчета траекторий частиц, вам необходимо решить вторые уравнения движения Лагранжа, приведенные выше.

«Точно так же, как вы докажете, почему сжатая или вытянутая пружина перейдет в положение равновесия». - это имеет смысл для меня; но я до сих пор не знаю, как формально это доказать.

ZeroTheHero · Answer 4

Обобщенные координаты (ну ... должны) уже содержат ограничения. Например, в случае маятника длины $ℓ$ $ℓ$ $ℓ$ обобщенная координата обычно равна длине дуги $ℓ θ$ $ℓ θ$ $ℓ θ$ или угол $θ$ $θ$ $θ$ сам, а не декартовы координаты $x$ $x$ $Икс$ и $y$ $y$ $Y$ (вертикаль $y$ $y$ $Y$ ).

Ограничение $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ $x^{2} + y^{2} = ℓ^{2}$ ${Икс}^{2} + Y^{2} знак равно ℓ^{2}$ точно позволяет переход от декартовой к обобщенным координатам. Таким образом, силы ограничения были «устранены» путем перехода к обобщенным координатам. В простейших случаях ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ должны быть декартовы компоненты (или, по крайней мере, компоненты в исходных координатах). Части ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ которые не вносят никакой чистой работы (например, пары действие-реакция), будут автоматически исключены суммированием по всем частицам.

Если вы хотите стать более формальным, есть старый учебник Уиттакера с большим количеством деталей. В противном случае Гольдштейн является обычным резервом, но также есть много инженерных текстов, касающихся метода виртуальной работы, которые были бы полезны на различных уровнях формальности.

Вы упомянули суммирование по всем частицам, что я не хочу делать. ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ должна быть чистая сила на частице $i$ $i$ $я$ , Мой вопрос тогда был, если смещение частицы в направлении ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{i}$ ${\vec{F}}_{я}$ уменьшает потенциальную энергию системы, и если это относится и к обобщенным силам тоже.
хорошо ... Тогда я не понимаю. Вы суммируете $i$ $i$ $я$ и вот как определяются обобщенные силы посредством суммирования. Кроме того, $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{я}$ это НЕ направление: это обобщенная сила. (Ты имеешь ввиду $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ или же $r_{i}$ $r_{i}$ $r_{i}$ $r_{i}$ $р_{я}$ ?).
Знак $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{i}$ $Q_{я}$ уверен, дает мне «направление», в котором можно настроить $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $q_{i}$ $Q_{я}$ ,

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Кристиан Шнорр

ZeroTheHero

Кристиан Шнорр

ZeroTheHero

Ответы (4)

ЧР Дрост

Предварительные комментарии, которые сделают вещи очевидными

Вопрос 1: работа снижает потенциальную энергию.

Вопрос 2: тот же вопрос с обобщенными силами

Вопрос 3: силы ограничения

Вопрос 4: принцип минимальной энергии

Некоторые сноски

0Tech

Кристиан Шнорр

0Tech

Кристиан Шнорр

0Tech

Кристиан Шнорр

physicopath

Кристиан Шнорр

ZeroTheHero

Кристиан Шнорр

ZeroTheHero

Кристиан Шнорр

Лагранжиан поля Шредингера

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Физический смысл преобразования Лежандра

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Рассматривая возможность перехода от разработчика базы данных к разработчику полного стека [закрыто]

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]