Динамические переменные в лагранжевом формализме

Question

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Физика
Действие
Степени-свободы
Координатно-системы
Лагранжиан-формализма
Вариационно-исчисление

Наман Агарвал

В Классической механике Гольдштейна было написано, что в лагранжевом формализме независимые динамические переменные $q$ $q$ $Q$ и $t$ $t$ $T$ , Вот почему мы представляем состояние системы в лагранжевом формализме, используя точку в конфигурационном пространстве. Но на протяжении расчетов мы относимся $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ также в качестве независимой переменной, как для расчетов из уравнения Эйлера-Лагранжа. Кроме того, Гольдштейн упоминает, что математически мы лечим $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ как независимая переменная, но кроме этого это не так. Как математически независимая величина не может считаться таковой при понимании динамики системы, как при описании состояния ее?

Qmechanic ♦

Этот вопрос (v2) по сути является дубликатом Вариационного исчисления - как имеет смысл изменять положение и скорость независимо?

Ответы (3)

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Этот вопрос (v2) по сути является дубликатом Вариационного исчисления - как имеет смысл изменять положение и скорость независимо?

Дж. Мюррей · Answer 1

Мы не лечим $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ как независимая переменная при выводе уравнений Эйлера-Лагранжа. Грубый ответ заключается в том, что $q$ $q$ $Q$ и $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ являются независимыми в качестве входных данных для лагранжиана, но становятся связанными, как только мы указываем путь через конфигурационное пространство - я остановлюсь на этом в пунктах 5 и 6.

Я буду весьма формален в дальнейшем, но, возможно, формальность будет несколько поучительной. Сначала несколько предварительных замечаний:

1: состояние $N$ $N$ $N$ система состоит из точки

Q \equiv (Q_{1}, Q_{2}, ..., Q_{N}) \in Q

где

Q

Q

Q

называется пространством конфигурации, соответствующим системе, и

q_{i}

q_{i}

q_{i}

q_{i}

Q_{я}

это

i^{t h}

i^{t h}

i^{t h}

i^{t h}

я^{T час}

обобщенная координата .

2: кривая $γ$ $γ$ $γ$ через пространство конфигурации есть карта

γ : р \to Q

T \mapsto γ (T) знак равно (Q_{1} (T), Q_{2} (T), ..., Q_{N} (T)) \equiv Q_{γ} (T)

Кривая поэтому параметризована

t

t

T

, который мы называем временем. Это описывает, как состояние системы развивается. Обратите внимание, что мы будем требовать, чтобы

γ

γ

γ

быть как минимум дважды дифференцируемым.

3: в каждой точке $γ$ $γ$ $γ$ существует единственный касательный вектор $V_{γ} (t)$ $V_{γ} (t)$ $V_{γ} (t)$ $V_{γ} (t)$ $V_{γ} (t)$ $V_{γ} (t)$ $В_{γ} (T)$ дано следующим образом:

В_{γ} : р \to T_{Q} Q

T \mapsto В_{γ} (T) знак равно ({\dot{Q}}_{1} (T), {\dot{Q}}_{2} (T), ..., {\dot{Q}}_{N} (T)) \equiv {\dot{Q}}_{γ} (T)

T_{q} Q

T_{q} Q

T_{q} Q

T_{q} Q

T_{q} Q

T_{q} Q

T_{Q} Q

называется касательным пространством к

Q

Q

Q

в точке

q

q

Q

, Я не буду пытаться определить это строго, но интуитивное понятие касательного пространства должно быть знакомо, если вы берете Голдштейна.

4: дизъюнктное объединение всех касательных пространств $Q$ $Q$ $Q$ называется касательным расслоением к $Q$ $Q$ $Q$ и обозначается $T Q$ $T Q$ $T Q$ :

T Q знак равно \underset{Q \in Q}{⊔} T_{Q} Q

Если

(q, v)

(q, v)

(q, v)

(q, v)

(Q, v)

является элементом касательного расслоения

T Q

T Q

T Q

тогда это означает, что

v

v

v

является касательным вектором к некоторой кривой, проходящей через точку

q

q

Q

,

5: лагранжиан - это функция, которая принимает три (или два, в зависимости от вашей точки зрения) входа - точку $(q, v) \in T Q$ $(q, v) \in T Q$ $(q, v) \in T Q$ $(q, v) \in T Q$ $(Q, v) \in T Q$ и реальное число $t \in R$ $t \in R$ $T \in р$ - и отображает их на действительное число:

L : T Q \times р \to р

(Q, v, T) \mapsto L (Q, v, T)

Важным моментом является то, что

q

q

Q

не определяет

v

v

v

- так далеко как

L

L

L

обеспокоен,

q

q

Q

это просто какой-то момент в

Q

Q

Q

и

v

v

v

является касательным вектором к одной из бесконечности кривых, которая проходит через

q

q

Q

,

6: функционал действия $S$ $S$ $S$ отображает кривую $γ$ $γ$ $γ$ на вещественное число следующим образом:

S [γ] знак равно \int L (Q_{γ} (T), {\dot{Q}}_{γ} (T), T) d T

Чтобы повторить вышеупомянутую точку, лагранжиан имеет три слота - один для точки в конфигурационном пространстве, один для касательного вектора и один для действительного числа. Так далеко как

L

L

L

Это связано с тем, что эти три слота являются независимыми, поэтому мы можем использовать частные производные в свободное время.

Когда мы выполняем функционал действия , мы идем по кривой $γ$ $γ$ $γ$ , На каждый $t$ $t$ $T$ кормим $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (t) \equiv q_{γ} (t)$ $γ (T) \equiv Q_{γ} (T)$ в первый слот, $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $V_{γ} (t) \equiv {\dot{q}}_{γ} (t)$ $В_{γ} (T) \equiv {\dot{Q}}_{γ} (T)$ во второй слот, и $t$ $t$ $T$ в третий слот. Но нельзя подчеркнуть, что сам лагранжиан понятия не имеет, что эти три входа имеют какое-либо отношение друг к другу.

Теперь, когда это не так, мы можем приступить к делу. Мы ищем некоторые $γ$ $γ$ $γ$ для которого функционал действия является стационарным. Интуитивно мы думаем «взять производную и установить ее на ноль», но на данном этапе не совсем понятно, как взять производную по кривой.

Вместо этого мы сделаем следующее. Обозначим правильную (но неизвестную) кривую $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{с}$ , Тогда общая кривая $γ$ $γ$ $γ$ можно записать как «сумму» $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{c}$ $γ_{с}$ и какая-то "ошибка" $η$ $η$ $η$ которая исчезает в конечных точках интеграла, и где сумма определяется компонентно. Другими словами, в какое-то время $t$ $t$ $T$ ,

Q_{γ} (T) знак равно Q_{с} (T) + ε η (T) \equiv (Q_{с 1} (T) + ε \cdot η_{1} (T), Q_{с 2} (T) + ε \cdot η_{2} (T), ..., Q_{с N} (T) + ε \cdot η_{N} (T))

в то время как касательный вектор (также называемый обобщенной скоростью) становится

{\dot{Q}}_{γ} (T) знак равно {\dot{Q}}_{с} (T) + ε \cdot η^{'} (T) \equiv ({\dot{Q}}_{с 1} (T) + ε \cdot η_{1}^{'} (T), {\dot{Q}}_{с 2} (T) + ε \cdot η_{2}^{'} (T), ..., {\dot{Q}}_{с N} (T) + ε \cdot η_{N}^{'} (T))

где $ϵ \in R$ $ϵ \in R$ $ε \in р$ , Вместо того, чтобы беспокоиться о деталях функциональных производных, мы можем искать путь $γ$ $γ$ $γ$ что делает действие интегральным стационарным относительно изменений в $ϵ$ $ϵ$ $ε$ :

\frac{d S [γ]}{d ε} знак равно 0

Функционал действия становится

S [γ] знак равно \int_{}^{В} L (Q_{γ} (T), {\dot{Q}}_{γ} (T), T) d T знак равно \int_{}^{В} L (Q_{с} (T) + ε \cdot η (T), {\dot{Q}}_{γ} (T) + ε \cdot η^{'} (T), T) d T

Различение по отношению к $ϵ$ $ϵ$ $ε$ дает

\frac{d S [γ]}{d ε} знак равно \int_{}^{В} Σ_{я знак равно 1}^{N} [\frac{\partial L}{\partial Q_{γ я}} η_{я} (T) + \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}} η_{я}^{'} (T)] d T

Теперь мы понимаем, что

\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}} η_{я}^{'} (T) знак равно {[\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}} η_{я} (T)]}^{'} - (\frac{d}{d T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}}) η_{я} (T)

и так как граничный член исчезает в конечных точках, мы находим, что

\frac{d S [γ]}{d ε} знак равно \int_{}^{В} Σ_{я знак равно 1}^{N} [\frac{\partial L}{\partial Q_{γ я}} - \frac{d}{d T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}}] η_{я} (T) d T

Потому что это количество должно исчезать для любого независимого набора вариантов $η_{i}$ $η_{i}$ $η_{i}$ $η_{i}$ $η_{я}$ отсюда следует, что подынтегральная функция должна исчезать всюду, и поэтому

\frac{d}{d T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{γ я}} знак равно \frac{\partial L}{\partial Q_{γ я}}

Это дает нам уравнения Эйлера-Лагранжа, которые позволяют нам найти правильный путь в терминах обобщенных координат. $q_{γ i}$ $q_{γ i}$ $q_{γ i}$ $q_{γ i}$ $q_{γ i}$ $q_{γ i}$ $Q_{γ я}$ ,

Задание кривой, которая связывает обобщенные координаты с обобщенными скоростями, происходит на уровне действия , а не на уровне лагранжиана . Так далеко как $L$ $L$ $L$ обеспокоен, $q (t)$ $q (t)$ $q (t)$ $q (t)$ $Q (T)$ и $\dot{q} (t)$ $\dot{q} (t)$ $\dot{q} (t)$ $\dot{q} (t)$ $\dot{q} (t)$ $\dot{q} (t)$ $\dot{Q} (T)$ не имеют ничего общего друг с другом и могут быть выбраны полностью независимо. В этом разница между кормлением $L$ $L$ $L$ число $q (t)$ $q (t)$ $q (t)$ $q (t)$ $Q (T)$ в отличие от функции $q$ $q$ $Q$ ,

Спасибо за ответ. Можете ли вы предложить книгу для чтения всего этого материала?
Это немного сложно, так как я на деле отказался от идеи касательных пространств, чтобы не углубляться в дифференциальную геометрию. Я более или менее прыгал вперед и назад между стандартной элементарной трактовкой лагранжевой механики и точкой зрения коллектора, хотя почти все, что вы найдете, будет либо тем, либо другим. Самая близкая вещь, которую я могу найти, это «Глобальные формулировки лагранжевой и гамильтоновой динамики на многообразиях» Ли, Леока и Маккламроха. Копия может быть доступна в Интернете, если вы попросите Всевышнего Google.
+1 Если мы хотим быть формальными, я думаю, что «Если $η$ $η$ $η$ маленький, мы можем линеаризовать "немного неудобно. Но это можно сделать более строгим, не жертвуя большой читаемостью, учитывая $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ = γ_{c} + ϵ η$ $γ знак равно γ_{с} + ε η$ где $ϵ$ $ϵ$ $ε$ является реальным числом и находкой $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ϵ = 0$ $d S [γ] / d ε знак равно 0$ ,
@JiK Вы абсолютно правы - я исправил некоторые записи и сделал это редактирование. Благодарю.

Вальтер Моретти · Answer 2

Общий лагранжев формализм развивается в многообразии $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $J^{1} (Е)$ со структурой струйного пучка, построенного из пучка волокон $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $Е \to р$ ,

Другими словами $E$ $E$ $Е$ локально является продуктом $Q$ $Q$ $Q$ и $R$ $R$ $р$ , где $Q$ $Q$ $Q$ это многообразие, где конфигурации системы описываются каждый раз $t \in R$ $t \in R$ $T \in р$ ,

$E$ $E$ $Е$ покрыт локальными координатными заплатами $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $T, Q^{1}, ..., Q^{N}$ где $t$ $t$ $T$ является временной координатой по основанию $R$ $R$ $р$ волоконного жгута $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $Е \to р$ и $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $Q^{1}, ..., Q^{N}$ покрыть волокна $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{T}$ (диффеоморфно $Q$ $Q$ $Q$ ).

Первое реактивное расширение $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $J^{1} (Е)$ над $R$ $R$ $р$ увеличивает каждое волокно $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{t}$ $Q_{T}$ добавив еще один фактор $R^{n}$ $R^{n}$ $R^{n}$ $R^{n}$ $р^{N}$ покрыты координатами струи , ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N}$ независимо от $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $Q^{1}, ..., Q^{N}$ но такие, что они отождествляют с $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d q^{1}}{d t}, \dots, \frac{d q^{n}}{d t}$ $\frac{d Q^{1}}{d T}, \dots, \frac{d Q^{N}}{d T}$ как только движение $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $t \mapsto (t, q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $T \mapsto (T, Q^{1} (T), ..., Q^{N} (T))$ дано. Другими словами $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(T, Q^{1}, ..., Q^{N}, {\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N})$ исправить кинетическое состояние системы во времени $t$ $t$ $T$ , Здесь конфигурация и кинетическое состояние полностью независимы. Волокна $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $j^{1} (E)$ $J^{1} (Е)$ поэтому $2 n$ $2 n$ $2 N$ многообразия $A_{t}$ $A_{t}$ $A_{t}$ $_{T}$ пространство кинетических состояний во времени $t$ $t$ $T$ , диффеоморфный каноническому слою $A$ покрыты местными координатами $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ $Q^{1}, ..., Q^{N}, {\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N}$

Ввиду этой структуры, изменение локальных координат и переход к $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $t^{'}, q^{^{'} 1}, \dots, q^{^{'} n}, {\dot{q}}^{^{'} 1}, \dots, {\dot{q}}^{^{'} n}$ $T^{'}, Q^{^{'} 1}, ..., Q^{^{'} N}, {\dot{Q}}^{^{'} 1}, ..., {\dot{Q}}^{^{'} N}$ отношения

\begin{matrix} (1) & T^{'} знак равно T + с \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & Q^{' К} знак равно Q^{' К} (T, Q^{1}, ..., Q^{N}) \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & {\dot{Q}}^{^{'} К} знак равно \frac{\partial Q^{^{'} К}}{\partial T} + Σ_{J знак равно 1}^{N} \frac{\partial Q^{^{'} К}}{\partial Q^{J}} {\dot{Q}}^{J} \end{matrix}

и обратные отношения имеют одинаковую структуру.

Вы видите, что третье уравнение совместимо с интерпретацией $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ как производная по времени $q$ $q$ $Q$ , Эта интерпретация является только формальной, потому что эта производная не может быть вычислена, когда точка $a \in A_{t}$ $a \in A_{t}$ $a \in A_{t}$ $a \in A_{t}$ $\in_{T}$ дано: для вычисления указанной производной нам понадобится кривая (сечение), проходящая через $a$ , не только $a$ сам.

Уравнения Эйлера-Лагранжа являются уравнениями первого порядка, индуцированными скалярной функцией $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : j^{1} (E) \to R$ $L : J^{1} (Е) \to р$ что в каждом локальном графике определяется раздел $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $t \mapsto γ (t) \in j^{1} (E)$ $T \mapsto γ (T) \in J^{1} (Е)$ в координатах

T \mapsto (T, Q (T), \dot{Q} (T)),

решение, для

k = 1, \dots, n

k = 1, \dots, n

К знак равно 1, ..., N

,

\frac{d}{d T} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{К}} - \frac{\partial L}{\partial Q^{К}} знак равно 0,

\frac{d Q^{К}}{d T} знак равно {\dot{Q}}^{К} (T),

Ты видишь это

\dot{q}

\dot{q}

\dot{q}

\dot{q}

\dot{Q}

Результаты будут производной по времени

q

q

Q

только вдоль решений уравнений ЭЛ, в противном случае

q

q

Q

и

\dot{q}

\dot{q}

\dot{q}

\dot{q}

\dot{Q}

являются независимыми переменными.

ДОБАВЛЕННЫЙ КОММЕНТАРИЙ . Почему струйные связки?

Общая идея заключается в поиске математической структуры, которая кодирует идею, что

$q$ $q$ $Q$ и $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ являются независимыми переменными, и они становятся зависимыми ( $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{q}$ $\dot{Q}$ является производной по времени $q$ $q$ $Q$ ) вдоль каждого решения уравнений движения.

Первая идея - моделирование пространства кинетических статов на касательном расслоении конфигурационного пространства. $T Q$ $T Q$ $T Q$ $T Q$ $T Q$ где $Q$ $Q$ $Q$ покрыт лагранжевыми координатными заплатами $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $Q^{1}, ... Q^{N}$ , Вот ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N}$ компоненты касательных векторов в $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $q^{1}, \dots q^{n}$ $Q^{1}, ... Q^{N}$ (интерпретируется как касательные векторы к кривым, проходящим через эту точку, параметризованным посредством временной координаты).

Это хорошо, но, таким образом, преобразования координат, явно зависящие от времени , математически неестественны, но физически необходимы (представьте, что лагранжевы координаты в состоянии покоя с двумя разными системами отсчета, одна из которых инерционная, а другая не инерциальная).

Выходом является использование в качестве пространства-времени кинетических состояний декартового произведения $A = R \times T Q$ $A = R \times T Q$ $A = R \times T Q$ $A = R \times T Q$ $знак равно р \times T Q$ , где $R$ $R$ $р$ это временная ось и просмотр допустимых координат на $A$ как координаты $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(t, q^{1}, \dots, q^{n}, {\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n})$ $(T, Q^{1}, ..., Q^{N}, {\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N})$ где $t \in R$ $t \in R$ $T \in р$ и $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $Q^{1}, ..., Q^{N}$ координаты на $Q$ $Q$ $Q$ и ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots, {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N}$ координаты на каждом волокне $T Q$ $T Q$ $T Q$ $T Q$ $T Q$ , Координата $t$ $t$ $T$ В классической физике требуется совпадать с абсолютным временем и, таким образом, оно фиксируется с точностью до аддитивной постоянной. Это объясняет, почему мы ограничивали возможные изменения временной координаты до элементарной (1).

Эта картина может быть реализована уже на уровне пространства конфигураций, определяя пространство-время конфигураций как $E := R \times Q$ $E := R \times Q$ $E := R \times Q$ $E := R \times Q$ $Е знак равно р \times Q$ ,

На практике эта конструкция эффективна, но страдает идеологическим недостатком , заключающимся в том, что при каждом изменении координаты (1) - (3) может использоваться другая реализация $E$ $E$ $Е$ (и $A$ ) как декартово произведение, что очевидно из правил преобразования (2) (и (3)), тогда как в общем случае естественного выбора не существует.

Таким образом, мы должны искать структуру, которая выглядит как декартово произведение (по крайней мере локально), но ее декартово разложение не является каноническим и допускает адаптированный атлас локальных карт, правила преобразования которых изложены в (1) - (3).

Первым шагом для удаления фиксированной декартовой структуры продуктов является ограничение только (1) и (2), предполагая с нуля, что пространство-время конфигураций не $R \times Q$ $R \times Q$ $р \times Q$ но многообразие, которое локально выглядит как этот продукт без фиксирования какого-либо конкретного выбора этого разложения

Эта структура существует и хорошо известна в математике: это расслоение $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $E \to R$ $Е \to р$ с каноническим слоем, диффеоморфным $Q$ $Q$ $Q$ , Атлас локальных координат, адаптированный к структуре пучка (с предпочтительной глобальной координатой, определяемой аддитивной постоянной на основе $R$ $R$ $р$ ) сделан из местных карт $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $T, Q^{1}, ..., Q^{N}$ преобразование точно так же, как в (1) - (2).

Осталось еще расширить эту структуру, чтобы охватить кинетическую информацию. Коллектор $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $A = j^{1} (E)$ $знак равно J^{1} (Е)$ это очень хороший кандидат. Это ничего, кроме $E$ $E$ $Е$ с добавлением $n = \dim (Q)$ $n = \dim (Q)$ $n = \dim (Q)$ $n = \dim (Q)$ $N знак равно тусклый (Q)$ координаты ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{q}}^{1}, \dots {\dot{q}}^{n}$ ${\dot{Q}}^{1}, ... {\dot{Q}}^{N}$ к каждому волокну для каждого естественного координатного участка $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $t, q^{1}, \dots, q^{n}$ $T, Q^{1}, ..., Q^{N}$ с требованием, чтобы изменение координат (3) выполнялось. Это связано с тем, что в определении струйного расслоения добавленные координаты точек должны интерпретироваться как компоненты касательных векторов сечений в $E$ $E$ $Е$ компоненты всех возможных касательных векторов к кривым $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $R ∋ t \mapsto (q^{1} (t), \dots, q^{n} (t))$ $р ∋ T \mapsto (Q^{1} (T), ..., Q^{N} (T))$ проходя через каждую точку $E$ $E$ $Е$ ,

Не могли бы вы объяснить, почему струйные пучки неизбежны при геометризации классической теории поля, но в принципе их можно обойтись в механике частиц? По крайней мере, это то, что я знаю. Возможно я не прав.
@DanielC Они не являются неизбежными! Просто они являются полезными инструментами для моделирования какой-то базовой физической идеи. Я попытался ответить на ваш вопрос в заключительной ноте, которую я добавил к своему ответу.

Qmechanic · Answer 3

Часть вопроса ОП, кажется, является вопросом семантики: если лагранжиан
$\begin{matrix} (1) & L (Q^{1}, ..., Q^{N}, v^{1}, ..., v^{N}, T) \end{matrix}$ имеет $n$ $n$ $N$ независимые обобщенные переменные положения $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $q^{1}, \dots, q^{n}$ $Q^{1}, ..., Q^{N}$ пространство конфигурации $n$ $n$ $N$ -мерный, то система, как говорят, имеет $n$ $n$ $N$ степени свободы (DOF), ср. например, этот пост Phys.SE.
Это определение DOF используется несмотря на то, что уравнения Лагранжа $n$ $n$ $N$ Связанные ODE 2-го порядка и, следовательно, полное решение имеют $2 n$ $2 n$ $2 N$ константы интегрирования, т.е. число $n$ $n$ $N$ DOF определяется как половина числа констант интегрирования!
Другая проблема заключается в том, что обобщенные скорости $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, \dots, v^{n},$ $v^{1}, ..., v^{N},$ являются независимыми переменными в лагранжиане (1), но они являются зависимыми переменными в действии
$\begin{matrix} (2) & S [Q^{1}, ..., Q^{N}; T_{я}, T_{е}] знак равно \int_{T_{я}}^{T_{е}} d T L (Q^{1}, ..., Q^{N}, {\dot{Q}}^{1}, ..., {\dot{Q}}^{N}, T), \end{matrix}$ Это, например, объясняется в этом посте Phys.SE.

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Наман Агарвал

Qmechanic ♦

Ответы (3)

Дж. Мюррей

Наман Агарвал

Дж. Мюррей

JIK

Дж. Мюррей

Вальтер Моретти

DanielC

Вальтер Моретти

Qmechanic

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Лагранжиан поля Шредингера

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Физический смысл преобразования Лежандра

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?