Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Question

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Весна
Физика
Лагранжиан-формализма
Классическая-механика
В-сочетании-генераторы
Домашние-задания-и-упражнения

Qmechanic

Две массы $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $м_{1}$ и $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ $m_{2}$ $м_{2}$ находятся на поверхности без трения. Они связаны тремя пружинами с постоянными $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ $К_{1}, К_{2}, К_{3}$ , $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $К_{1}$ и $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $К_{3}$ прикреплены к стенам и $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $К_{2}$ находится между массами. $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $К_{1}$ то слева $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $К_{2}$ и $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $К_{3}$ направо. Точки равновесия для масс $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ ${Икс}_{1}$ и $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ ${Икс}_{2}$ ,

Какова общая кинетическая энергия?
Какова общая потенциальная энергия?
Построить лагранжиан.

Будет ли кинетическая энергия равна нулю? У меня есть потенциал в $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $м_{1}$ так как

U знак равно - К_{1} {Икс}_{1} + К_{2} ({Икс}_{1} - {Икс}_{2})

и потенциал в

m_{2}

m_{2}

m_{2}

m_{2}

м_{2}

так как

U знак равно - К_{2} ({Икс}_{1} - {Икс}_{2}) + К_{3} {Икс}_{2}

Я чувствую, что не правильно настраиваю это уравнение.

Ответы (1)

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Sahin · Answer 1

Простой рисунок системы под рукой приведен ниже.

физическая система в вопросе

При записи кинетической энергии мы используем скорости частиц. В частности, мы возводим в квадрат скорости. А скорость - не что иное, как производная от смещения. Здесь у нас есть две частицы, где мы показали их смещения $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ ${Икс}_{1}$ и $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ ${Икс}_{2}$ , Это означает, что кинетическая энергия для первой частицы

T_{1} знак равно \frac{1}{2} м_{1} {\dot{Икс}}_{1}^{2},

где точка на вершине $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ ${Икс}_{1}$ обозначает производную по времени, т.е. ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{x}}_{1} = \frac{d x_{1}}{d t}$ ${\dot{Икс}}_{1} знак равно \frac{d {Икс}_{1}}{d T}$ , Аналогично кинетическая энергия второй частицы равна

T_{2} знак равно \frac{1}{2} м_{2} {\dot{Икс}}_{2}^{2},

Следовательно, полная кинетическая энергия системы

T знак равно T_{1} + T_{2} знак равно \frac{1}{2} м_{1} {\dot{Икс}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} м_{2} {\dot{Икс}}_{2}^{2},

Предполагая, что другого внешнего потенциала для системы нет, потенциальная энергия системы будет равна потенциальной энергии, запасенной в пружинах. Для любой весны мы знаем закон Гука: $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F = - k x$ $F знак равно - К Икс$ , Это; сжать или растянуть пружину на некоторое расстояние $x$ $x$ $Икс$ , нужна сила $F$ $F$ $F$ который пропорционален чему-то, что называется «пружинная постоянная» и показано $k$ $k$ $К$ ,

Потенциальная энергия для любой системы находится из $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U = - \int \vec{F} \cdot d \vec{r}$ $U знак равно - \int \vec{F} \cdot d \vec{р}$ интеграл. Для силы пружины мы имеем

U знак равно - \int (- К Икс) d Икс знак равно \frac{1}{2} К {Икс}^{2},

где константы интеграции игнорируются.

Теперь у нас есть все инструменты для решения проблемы. Давайте сначала посмотрим на пружину слева, которая имеет постоянную пружины $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $К_{1}$ , Левая сторона этой пружины прикреплена к стене, а правая сторона прикреплена к массе. $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $м_{1}$ , И масса $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $м_{1}$ свободно двигаться (помните, что мы назначили координату для него). Таким образом, эта пружина может расширяться или сжиматься на величину $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ ${Икс}_{1}$ всякий раз, когда масса $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $m_{1}$ $м_{1}$ движется. Поэтому потенциальная энергия этой весны

U_{1} знак равно \frac{1}{2} К_{1} {Икс}_{1}^{2},

Точно так же крайняя правая пружина имеет потенциальную энергию

U_{3} знак равно \frac{1}{2} К_{3} {Икс}_{2}^{2},

И, наконец, для пружины в середине у нас есть смещение, которое зависит от обеих координат $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ $x_{1}$ ${Икс}_{1}$ и $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ $x_{2}$ ${Икс}_{2}$ , В этом случае потенциальная энергия записывается как

U_{2} знак равно \frac{1}{2} К_{2} ({Икс}_{2} - {Икс}_{1})^{2},

Тогда полная потенциальная энергия системы

U знак равно U_{1} + U_{2} + U_{3} знак равно \frac{1}{2} К_{1} {Икс}_{1}^{2} + \frac{1}{2} К_{3} {Икс}_{2}^{2} + \frac{1}{2} К_{2} ({Икс}_{2} - {Икс}_{1})^{2},

Лагранжиан системы задается $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L = T - U$ $L знак равно T - U$ , Поэтому для нашей системы

L знак равно \frac{1}{2} м_{1} {\dot{Икс}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} м_{2} {\dot{Икс}}_{2}^{2} - \frac{1}{2} К_{1} {Икс}_{1}^{2} - \frac{1}{2} К_{3} {Икс}_{2}^{2} - \frac{1}{2} К_{2} ({Икс}_{2} - {Икс}_{1})^{2},

ПРИМЕЧАНИЕ. При выполнении такого рода расчетов можно учитывать естественную длину пружин. Но постоянные члены в потенциальных энергиях не имеют значения в физике. Поэтому игнорирование их в большинстве случаев экономит время и упрощает вычисления. На протяжении всего моего ответа я пренебрег этими длинами для ясности.

Для справки, публикация ответов на основные домашние вопросы, подобные этим, противоречит нашей политике в отношении домашних заданий - но с тех пор, как она была опубликована, прошло много времени, поэтому я ничего не буду с этим делать.

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Qmechanic

Ответы (1)

Sahin

Дэвид З ♦

Физический смысл преобразования Лежандра

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции

Лагранжиан поля Шредингера

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Найти электрический потенциал за счет распределения линейного заряда?

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Динамические переменные в лагранжевом формализме

Вариация модифицированного действия Эйнштейна Гильберта

Проблема электромагнетизма: откуда берется магнитное поле?

Гамильтонова теорема Нетера в классической механике [дубликат]