Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Question

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Физика
Теории-поля
Комплексные-числа
Лагранжиан-формализма
Вариационно-исчисление
Квантово-полевая-теория

BMS

Я новичок в QFT, поэтому у меня может быть неправильная терминология.

Многие книги QFT предоставляют пример получения уравнений движения для различных свободных теорий. Один пример для сложного скалярного поля:

L_{Compl Scaclar} знак равно (\partial_{μ} φ^{*}) (\partial^{μ} φ) - м^{2} φ^{*} φ,

Обычный «трюк» для получения уравнений движения состоит в том, чтобы

ϕ

ϕ

φ

и

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

φ^{*}

как отдельные поля. Даже после этого трюка авторы предпочитают рассматривать их как отдельные поля в своей терминологии. Это делается иногда перед наложением второго квантования на коммутационные соотношения, так что

ϕ

ϕ

φ

не является (пока) полем операторов. (В частности, я следую за формулировкой КТП в этой книге Роберта Д. Клаубера «Квантовая теория поля, дружественного к студенту». )

Какова мотивация для этого метода рассматривать два поля как отдельные? Я интуитивно хочу лечить $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $φ^{*}$ как просто комплексное сопряжение $ϕ,$ $ϕ,$ $φ,$ не как отдельное поле, а работа исключительно с $ϕ$ $ϕ$ $φ$ ,

Это просто ярлык для получения уравнений движения

(◻ + м^{2}) φ знак равно 0 (◻ + м^{2}) φ^{*} знак равно 0 ?

Я также понимаю, что можно написать $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $φ знак равно φ_{1} + я φ_{2}$ где два подписанных поля действительны, как это сделано здесь ; возможно, это решает мой вопрос таким образом, что я не понимаю.

auxsvr

Это отдельные поля. Они линейно независимы, векторное пространство, которое они образуют, имеет размерность 2.

Ответы (3)

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

Это отдельные поля. Они линейно независимы, векторное пространство, которое они образуют, имеет размерность 2.

Qmechanic · Answer 1

TL; DR: Да, это просто короткий путь. Главное, что сложная карта

\begin{matrix} (А) & (\begin{matrix} φ \\ φ^{*} \end{matrix}) знак равно (\begin{matrix} 1 & я \\ 1 & - я \end{matrix}) (\begin{matrix} φ_{1} \\ φ_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

это биективная карта: $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $С^{2} \to С^{2}$ ,

Обозначения в этом ответе: В этом ответе, пусть $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $φ, φ^{*} \in С$ обозначим два независимых комплексных поля. Позволять $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{φ}$ обозначает комплексное сопряжение $ϕ$ $ϕ$ $φ$ ,

Я) Давайте начнем с самого начала. Представьте, что мы рассматриваем теорию поля сложного скалярного поля $ϕ$ $ϕ$ $φ$ , Нам дана лагранжева плотность

\begin{matrix} (В) & L знак равно L (φ, \bar{φ}, \partial φ, \partial \bar{φ}) \end{matrix}

это полином в $ϕ$ $ϕ$ $φ$ , $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{φ}$ и их пространственно-временные производные. Мы всегда можем разложить сложное поле на вещественную и мнимую части

\begin{matrix} (С) & φ \equiv φ_{1} + я φ_{2}, \end{matrix}

где $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $φ_{1}, φ_{2} \in р$ , Следовательно, мы можем переписать лагранжеву плотность (B) как теорию двух действительных полей

\begin{matrix} (D) & L знак равно L (φ_{1}, φ_{2}, \partial φ_{1}, \partial φ_{2}), \end{matrix}

II) Мы можем продолжить, по крайней мере, тремя способами:

Измените действие по отношению к. две независимые реальные переменные $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $φ_{1}, φ_{2} \in р$ ,
первоначально $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $φ_{1}, φ_{2} \in р$ конечно два реальных поля. Но мы можем усложнить их, изменить действие по отношению к ним. две независимые комплексные переменные $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $φ_{1}, φ_{2} \in С$ , если мы в конце расчета накладываем два реальных условия
$\begin{matrix} (Е) & я м (φ_{1}) знак равно 0 знак равно я м (φ_{2}), \end{matrix}$
Или эквивалентно, мы можем заменить комплексное сопряженное поле $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{φ} \to φ^{*}$ в лагранжевой плотности (B) с независимой новой комплексной переменной $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $φ^{*}$ т.е. лечить $ϕ$ $ϕ$ $φ$ и $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $φ^{*}$ как две независимые комплексные переменные, измените действие по отношению к. две независимые комплексные переменные $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $φ, φ^{*} \in С$ , если мы в конце расчета наложим сложное условие
$\begin{matrix} (F) & φ^{*} знак равно \bar{φ}, \end{matrix}$

III) Уравнения Эйлера-Лагранжа, которые мы выводим с помощью двух методов (1) и (2), очевидно, будут совершенно одинаковыми. Уравнения Эйлера-Лагранжа, которые мы выводим с помощью двух методов (2) и (3), будут просто линейными комбинациями друг друга с коэффициентами, заданными постоянной матрицей из уравнения. (А).

IV) Отметим для полноты, что комплексная теория [т.е. теория, которую мы получили бы, если бы мы не навязывали условие (E) или, что эквивалентно, условие (F)], как правило, не унитарна и поэтому плохо определена как QFT. Для начала напомним, что мы обычно требуем, чтобы лагранжева плотность была реальной.

Ссылки:

Сидни Коулман, QFT отмечает ; п. 56-57.

Никос М. · Answer 2

Конечно , ответ @ QMechanic правильный.

Я хотел бы показать очень простую причину, почему это так (а также указать на возможные обобщения)

Прежде всего, любое комплексное число $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $Z знак равно + б я$ 2-мерная и каждая часть (реальная часть $a$ или мнимая часть $b i$ $b i$ $б я$ ) могут быть полностью независимы друг от друга. В результате комплексное число может представлять в сжатой форме 2 числа . Кроме того, это также означает, что комплексное число, которое должно быть полностью определено для каждого из измерений, также должно быть определено .

С другой стороны, от каждого комплексного числа $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $Z знак равно + б я$ (вместе со своим сложным сопряженным $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{Z} знак равно - б я$ ) можно вычислить 2 действительных числа ( $a$ , $b$ $b$ $б$ ) в качестве:

знак равно (Z + \bar{Z}) / 2

б знак равно (Z - \bar{Z}) / 2 я

поскольку $a$ и $b$ $b$ $б$ могут быть полностью независимы друг от друга, так что может $z$ $z$ $Z$ и $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{Z}$ ,

Существует полная симметрия представления (если такой термин можно использовать).

Это означает, что в QFT (например), вместо того, чтобы делать изменения на $a$ , $b$ $b$ $б$ реальные поля, можно эквивалентно (по тому же признаку) сделать изменения на $z$ $z$ $Z$ , $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{Z}$ сложные поля и тд.

ОБНОВИТЬ:

Еще немного углубиться в абстрактную математику.

Комплексное сопряжение является (естественным) автоморфизмом поля комплексных чисел . Кроме того, комплексное сопряжение комплексного числа $z$ $z$ $Z$ не может быть получено из любой аналитической функции $z$ $z$ $Z$ (грубо говоря, рациональные функции $z$ $z$ $Z$ и силовой ряд). Это дополнительно делает комплекс сопряженным $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{Z}$ естественный кандидат для рассмотрения в качестве отдельной области.

Тест: Сколько компонентов необходимо для расчета скорости $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v знак равно d Икс / d T$ объекта, имеющего положение $x$ $x$ $Икс$ и можно ли их считать независимыми? Или другими словами, зная положение $x$ $x$ $Икс$ (в данное время $t$ $t$ $T$ ), мы можем также знать скорость $v$ $v$ $v$ (в то же время)

Спасибо Никос, мне нравится эта перспектива. В качестве последующего вопроса: общего комплексного дифференциального уравнения, такого как уравнение Шредингера, достаточно для определения эволюционных характеристик системы. Чем отличается уравнение КГ? Почему здесь нужны два уравнения, тогда как для уравнения Шредингера нужно только одно?
@BMS, небольшой учебник по релятивистскому КТП, который у меня был, говорит, что они просто воспроизводят различные отношения энергии-импульса. Уравнение Шредингера воспроизводит нерелятивистское соотношение $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $Е знак равно п^{2} / 2 м + В$ тогда как Кляйн-Гордон воспроизводит релятивистский $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $Е^{2} знак равно п^{2} + (м с^{2})^{2}$ Это уравнение второго порядка, так что это означает, что оно может описывать бозоны (простой способ увидеть, что это условия, ограничивающие полную энергию), тогда как уравнение Дирака также воспроизводит релятивистское соотношение em, но в первом порядке, которое ограничивает полную энергию, подходящую для фермионы (теорема о спиновой статистике и др.)

Макс К. · Answer 3

Я хотел бы сделать комментарий, который может прояснить и немного упростить вещи.

В комплексном анализе [см., Например, `` Введение в комплексный анализ 'Б.В. Шабата] по определению производных по комплексным переменным $z$ $z$ $Z$ и $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{Z}$ предоставляются:

Def: \partial_{Z} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{} - я \partial_{б}) \partial_{\bar{Z}} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{} + я \partial_{б}),

где

a

и

b

b

б

стоять за реальные и мнимые части

z

z

Z

соответственно. Равенства

\partial_{Z} \bar{Z} знак равно 0 и \partial_{\bar{Z}} Z знак равно 0

подразумевают, что вариации по г и

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{Z}

являются независимыми, в то время как переменные

z

z

Z

и

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{Z}

(будучи взаимно сложными сопряженными) не являются независимыми. Нет никакого удвоения степеней свободы, но можно варьировать в зависимости от поля и его сопряженных, считая их независимыми.

конъюгаты независимы в том смысле, что не существует аналитической функции, которая их связывает. Кроме того, чтобы получить базовые (возможно независимые) действительные числа, нужно $z$ $z$ $Z$ и его сопряженный. Это делает их (функционально) независимыми. Одно не может быть выведено из другой аналитики
@ Никос М.: Что вы имеете в виду, когда говорите, что нужно z и его сопряжение, если вы хотите получить базовые действительные числа? Если мне дают комплексное число, не всегда ли это будет просто суперпозиция «1» и «i»?

Зачем рассматривать сложное скалярное поле и его комплексное сопряжение как два разных поля?

BMS

auxsvr

Ответы (3)

Qmechanic

Никос М.

BMS

Никос М.

Макс К.

Никос М.

Quantumwhisp

Лагранжиан поля Шредингера

Динамические переменные в лагранжевом формализме

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?

Обобщенные силы и потенциальная энергия

Рассеяние, возмущение и асимптотические состояния в формуле редукции LSZ

О сложной природе волновой функции?

Momentum Shell RG для модели Ising

Полный фотонный пропагатор в расчете S-матрицы

Если фотоны несут 1 спиновую единицу, почему у видимого света нет углового момента?

Интегралы по числам Грассмана