Объяснение второго закона Кеплера

Второй закон Кеплера (отрезок, соединяющий планету и Солнце, за равные промежутки времени заметает равные площади) является следствием сохранения углового момента. Это относится не только к гравитации, но и к движению под действием любой центральной силы , т. е. силы, которая всегда направлена ​​к фиксированной точке.

Конечно, сам Кеплер вывел свои три закона эмпирически, наблюдая за движением известных планет. Именно Ньютон доказал, что первый и третий законы Кеплера являются следствием обратно-квадратичной природы гравитации и что второй закон Кеплера более широко применим к любой центральной силе.

Площадь сектора$A = \frac{1}{2}r^2 \theta$а для небольших изменений во времени (когда расстояние от планеты до Солнца считается постоянным) скорость сметания площади равна$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2 \omega$

Для орбит угловой момент постоянен, поэтому$mr^2\omega$постоянна, а это означает, что скорость выметания площади также постоянна.

Таким образом, мы могли бы сравнить площадь, омываемую Землей вокруг Солнца, например, для январского дня, когда оно находится ближе всего, и июльского дня, когда оно находится дальше всего, и площади будут одинаковыми.

второй закон Кеплера

по второму закону Ньютона

$$m\,\mathbf{\ddot{r}}=F(r)\,\frac{\mathbf r}{r}$$

где$~F(r)~$центральная сила

отсюда

$$\mathbf r\times m\,\mathbf{\ddot{r}}=\frac{F(r)}{r}\left(\mathbf r\times \mathbf r\right)=\mathbf 0$$

с

$$\frac{d}{dt}\left(\mathbf r\times m\,\mathbf{\dot{r}}\right)= \mathbf{\dot{r}}\times m\,\mathbf{\dot{r}}+\mathbf r\times m\,\mathbf{\ddot{r}}= \mathbf 0$$

следовательно

$$\mathbf r\times m\,\mathbf{\dot{r}}=\mathbf L=\textbf{const.}\tag 1$$

это сохранение углового момента

дополнительно из уравнения (1) получаем, что$\mathbf r\cdot \mathbf L=\mathbf 0~$это значит, что$~\mathbf r\perp\mathbf L~$поэтому материальная точка m имеет планирующее движение

из уравнения (1)$~\mathbf r\times \mathbf{\dot{r}}=\frac{\textbf{const.}}{m}$с полярной координатой вы получаете

$$\mathbf r=r\,\begin{bmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \\ 0 \\ \end{bmatrix}\\ \mathbf{\dot{r}}=\left[ \begin {array}{c} \cos \left( \varphi \right) {\dot r}-r\sin \left( \varphi \right) \dot\varphi \\ \sin \left( \varphi \right) {\dot r}+r\cos \left( \varphi \right) \dot\varphi \\ 0\end {array} \right]\quad \Rightarrow\\ |\mathbf r\times \mathbf{\dot{r}}|=r^2\,\dot\varphi$$

или

$$\frac{d A}{dt}=\frac 12 r^2\,\dot\varphi\\ \boxed{~A=\frac 12 r^2\,\varphi}$$

второй закон Кеплера