Огромная путаница с фермионами и бозонами и их отношением к общему вращению атома.

В отличие от предыдущих неправильных ответов, которые я не заметил, нет никакой двусмысленности или путаницы в статистике Бозе-Эйнштейна или Ферми-Дирака для составных систем, таких как атомы.

Частица — элементарная или составная — содержащая четное число элементарных (или других) фермионов — бозон; если он содержит нечетное число, это фермион. Бозоны всегда имеют целочисленный спин; фермионы всегда имеют полуцелый спин. По теореме о спиновой статистике волновая функция двух бозонов инвариантна относительно их обмена, но антисимметрична относительно обмена двумя одинаковыми фермионами. Эти два правила являются теоремами для элементарных частиц, и если принять эту теорему, то также тривиально доказать эти утверждения для составных частиц.

В частности, для нейтрального атома числа протонов и электронов равны, поэтому их общая четность четна. Вот почему только нейтроны имеют значение. Изотоп с четным числом нейтронов является бозоном (весь атом: например, гелий-4); изотоп с нечетным числом нейтронов является фермионом (весь атом: например, гелий-3).

Это не означает, что составные бозоны демонстрируют все те же физические явления, такие как сверхтекучесть, которые мы можем наблюдать с некоторыми бозонами.

Магнитный момент заряженной «достаточно элементарной» частицы масштабируется как$1/m$куда$m$это масса частицы. Вот почему магнитный момент протонов, нейтронов и ядер примерно в 1000-2000 раз меньше магнитных моментов электронов. Вот почему ядерные спины практически не влияют на поведение атома в магнитном поле.

В этом нет противоречия, потому что атомы в целом обладают гораздо большими магнитными моментами, чем ядра по отдельности – из-за нейтронов: атомы не являются «достаточно элементарными» в этом определении. И спины электронов, и их орбитальный угловой момент вносят вклад в магнитный момент атома. Кроме того, существует большее количество состояний, потому что атом является типичным примером «сложения нескольких угловых моментов». Тензорное произведение гильбертова пространства может быть разложено как прямая сумма гильбертовых пространств с фиксированными значениями полного углового момента. Вырождение и магнитный момент этих компонентов зависят от полного углового момента, т. е. от относительной ориентации угловых моментов ядра и электрона.

В действительности спектральные линии всего атома имеют так называемую сверхтонкую структуру. С некоторым приближением ядерным спином можно полностью пренебречь. Но при правильном учете соображений из предыдущего абзаца каждая спектральная линия фактически расщепляется на несколько соседних (примерно на 3 порядка ближе друг к другу) более тонких спектральных линий, каждая из которых соответствует различному значению полного углового импульс всего атома (или, что то же самое, другое значение$\vec J_{\rm electrons}\cdot \vec J_{\rm nucleus}$).

Здесь есть две разные проблемы. (1) Является ли хорошим приближением описание конкретной составной системы как бозона или фермиона? (2) Если да, то какой?

Вопрос №2 самый простой. Теорема о спиновой статистике говорит нам, что если спин — целое число, то объект — бозон. Для атома или иона это определяется тем, четно ли общее число электронов и кварков.

Вопрос №1 более сложный. Ответ Ахметели объяснил, исходя из общих представлений о квантовой механике, почему ответ может быть отрицательным. Я думаю, что для атома эта проблема сводится к режиму энергии/температуры, с которым вы имеете дело, и силе взаимодействия между ядром и электронами (сверхтонкое взаимодействие). Если бы ядро ​​вообще не взаимодействовало с электронами, то рассматривать их как составную систему было бы бессмысленно. Они взаимодействуют, но взаимодействие очень слабое; это составляет$\sim 10^{-4}$эВ, или около 1 К в пересчете на температуру.

При комнатной температуре мы имеем дело с температурами, в сотни раз превышающими эту шкалу, поэтому любые сверхтонкие эффекты слишком деликатны, чтобы иметь значение. Вот почему, например, свойства газов 3He и 4He различаются только из-за их разной массы.

При температурах ниже примерно 1 К начинают проявляться сверхтонкие эффекты. При этих температурах жидкости 3Не и 4Не качественно различаются, поскольку 4Не является бозоном и образует сверхтекучее состояние за счет эффектов, аналогичных бозе-эйнштейновской конденсации.

Чтобы сделать это более ясным, может быть полезно заметить, что здесь есть две независимые температурные шкалы. Первая — та, что описана в первом абзаце выше, температура соответствует силе сверхтонкого взаимодействия. Давайте назовем это$T_{hf}$. Второй – температура, при которой длина волны де Бройля атома равна типичному расстоянию между ними.$n^{-1/3}$между атомами, где$n$это числовая плотность. Ниже этой температуры мы ожидаем, что вещество будет сильно квантово-механическим, поэтому давайте назовем его$T_q$. Эта температура определяется$T_q=\hbar^2 n^{2/3}/2mk$. Для сверхтекучего 4Не это получается около 0,4 К. Для гелия эти две температуры оказываются примерно одинаковыми, но в принципе они совершенно разные. Если мы хотим увидеть какой-либо эффект квантовой статистики, нам нужна температура$\lesssim T_q$. Бывает, что для гелия это также гарантирует, что мы находимся при достаточно низких температурах, чтобы ядро ​​соединилось с системой и повлияло на статистику, но это случайность ядерной физики, которая дает магнитные дипольные моменты определенного порядка. величины.

Вообще не всегда корректно пытаться рассматривать составные системы как элементарные. Это может быть или не быть хорошим приближением для этого. Например, в ядерной физике мы можем попытаться рассматривать нуклоны как элементарные частицы и говорить о двухчастичных взаимодействиях между ними, но это запутанно и связано с приближениями, потому что на самом деле, когда нуклон взаимодействует с другим нуклоном, взаимодействуют всего лишь шесть кварков. Точно так же не всегда имеет смысл приписывать статистику Бозе или Ферми составной системе. При температуре$\lesssim T_{hf}$, имеет смысл приближенно рассматривать атом как составную систему, статистика которой определяется его полным спином (ядерным, связанным с электронным).

В случае 4He, где ядро ​​имеет нулевой спин, есть две отдельные причины, по которым ядро ​​не влияет на статистику. Во-первых, ядро ​​имеет целочисленный спин, и добавление целого числа к другому числу не влияет на то, является ли оно целым или полуцелым. Другая причина заключается в том, что система с нулевым спином не может иметь магнитный момент, поэтому ее невозможно магнитно связать с электронами, и, следовательно,$T_{hf}$эффективно равен нулю.

[РЕДАКТИРОВАТЬ] Вдохновленный скептицизмом Любоша Мотла, я огляделся в поисках более общего подхода к основному вопросу о том, применима ли, когда и в каком приближении спиновая статистика к составным системам. Оказывается, классической статьей на эту тему является Ehrenfest 1931. К сожалению, эта научная статья, оплаченная подоходным налогом моих бабушек и дедушек, находится за платным доступом, но вот аннотация:

Из принципа запрета Паули выводится правило симметрии волновых функций в координатах центра тяжести двух подобных стабильных кластеров электронов и протонов и обосновывается предположение, что кластеры удовлетворяют статистике Эйнштейна-Бозе или Ферми-Дирака в зависимости от того, является ли число частиц в каждом кластере четным или нечетным. Показано, что это правило становится недействительным только тогда, когда взаимодействие между кластерами достаточно велико, чтобы нарушить их внутреннее движение.

Отсюда становится ясно, что применение теоремы о спиновой статистике к составным системам является лишь приближением. Я не могу быть уверен, потому что я еще не нашел более полного изложения аргумента в Интернете, но процитированное выше резюме, похоже, согласуется с моим анализом выше жидких 3He и 4He. При температуре выше$T_{hf}$, взаимодействие «достаточно велико, чтобы нарушить» «внутреннее движение», т. е. тонкую сверхтонкую связь ядерного спина с электронами.

П. Эренфест и Дж. Р. Оппенгеймер, "Заметка о статистике ядер", Phys. Rev. 37 (1931) 333, link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.37.333, DOI: 10.1103/PhysRev.37.333

Это достаточно запутанно, чтобы заставить меня написать несколько уравнений. Это оператор создания для дейтерия:

куда$e^\dagger,p^\dagger,n^\dagger$являются операторами рождения для электронов, протонов и нейтронов с, надеюсь, очевидными обозначениями для индексов вращения и импульса.$\psi_{\alpha,\beta,\gamma}(l,p,q;\rho)$— это волновая функция, чья подробная форма меня не волнует.$\rho$является внутренним конфигурационным показателем, который включает в себя спин, уровень внутренней энергии и т. д.

Если считать фермионы, это должен быть фермион. Действительно, все коэффициенты Клебша-Гордона (которые я спрятал в$\psi$) будет равен нулю всякий раз, когда полный угловой момент не равен половине целого числа, и теорема о спиновой статистике по-прежнему применима. Итак, давайте вычислим антикоммутатор:

Мясо является антикоммутатором операторов поля. Работая над этим, я нахожу:

которая начинается с многообещающей дельта-функции (очевидное злоупотребление обозначениями здесь: Кронекер = дельта Дирака), но быстро превращается в нечто ужасное. Первое слагаемое явно дает$\delta_{\mu\rho}\delta_{rk}$мы хотим (вплоть до знака, с которым я не уверен, что делать). Другие члены дают одно- и двухчастичные матрицы приведенной плотности. Как правило, они будут иметь нетривиальные недиагональные компоненты, измеряющие корреляцию между двумя частицами, индуцированную третьей частицей.

Например, сосредоточьтесь на одном электронном члене (пятом члене антикоммутатора). Выполнение$p',q'$интегралы, суммы и перестановка дельта-функций дает

Глядя на вторую дельта-функцию, мы видим, что этот член в общем случае разбросан по$k-r$настолько, насколько волновая функция разбросана в$l$. Это просто говорит о том, что электрон коррелирует с другими частицами, но имеет эффект распространения антикоммутатора в импульсном пространстве. Возвращаясь к позиционному пространству, мы обнаружим, что антикоммутационное соотношение модифицируется на коротких расстояниях, сравнимых с размером составного состояния.

Возможно, здесь произойдет чудо-отмена и появится хороший локальный антикоммутатор, но для меня это неочевидно и кажется довольно маловероятным. Итак, из этого расчета я делаю вывод, что либо:

• В одном из предположений теоремы о спиновой статистике подразумевается, что речь идет о фундаментальных, а не составных объектах, или
• Я сделал ошибку или
• теорема о спиновой статистике неверна. (Я включаю эту возможность только для того, чтобы сразу исключить ее. ;))

EDIT: другие антикоммутаторы исчезают:$\left\{D,D\right\}=\left\{D^\dagger,D^\dagger\right\}=0$, но нарушения антикоммутационного соотношения выше достаточно, чтобы нельзя было построить обычное фоковское пространство. Возможно, определение поля могло бы исправить алгебру, для меня это не очевидно...

На самом деле есть два разных и неэквивалентных определения бозонов. С одной стороны, их часто определяют как частицы с целым спином, с другой стороны, иногда их определяют как частицы, для которых в природе существуют только симметричные состояния (см., например, «Основы квантовой механики» Дирака). Составные частицы, такие как атомы водорода, могут быть бозонами по первому определению, но не по второму. Коммутационные соотношения для операторов рождения/уничтожения атомов водорода выводятся из антикоммутационных соотношений для операторов рождения/уничтожения протонов и электронов, входящих в состав атомов водорода, и эти коммутационные соотношения примерно совпадают с коммутационными соотношениями для операторов рождения/уничтожения бозонов в пределе малой плотности.