Зеркальная симметрия волновой функции со спином 1/2: определение оператора отражения

Question

Зеркальная симметрия волновой функции со спином 1/2: определение оператора отражения

Маттиашо

Я ожидал бы от оператора отражения $\hat{M}$ оставить волновую функцию неизменной, если применить ее два раза, таким образом $\hat{M}^2=1$ . Однако для частицы со спином 1/2 это не так, если следовать стандартному определению $\hat{M}$ . Есть ли возможность определить оператор отражения по-другому? Откуда взялось стандартное определение?

По стандартному определению я имею в виду: действие отражения в плоскости yz (с нормалью в направлении x) $\hat{M}_x$ на спиновой части выражается через инверсию (которая не влияет на спин) и поворот на 180° вокруг оси x. Вращения $\hat{R}_{\alpha}(\vec{n})$ угла $\alpha$ вокруг вектора $\vec{n}$ можно выразить через:

{\hat{р}}_{α} (\vec{н}) "=" е Икс п (- я \frac{α}{2} \vec{о} \cdot \vec{н}) "=" потому что (\frac{α}{2}) - я \vec{о} \cdot \vec{н} грех (\frac{α}{2})

$\begin{equation} \hat{R}_{\alpha}(\vec{n}) =exp\left(-i\frac{\alpha}{2}\vec{\sigma}\cdot\vec{n}\right) = \cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) - i \vec{\sigma}\cdot\vec{n} \sin \left(\frac{\alpha}{2} \right) \end{equation}$ с матрицами Паули

\vec{σ}

$\vec{\sigma}$ . Для поворота на 180° вокруг, например,

x

$x$ -ось получаем

{\hat{р}}_{π} ({\vec{н}}_{Икс}) "=" - я о_{Икс} "=" - я (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} \hat{R}_{\pi}(\vec{n}_x) = - i \sigma_x = -i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\, . \end{equation}$ Очевидно,

{\hat{M}}_{x}^{2} = {\hat{R}}_{π}^{2} ({\vec{n}}_{x}) = - 1

$\hat{M}_x^2=\hat{R}^2_{\pi}(\vec{n}_x)=-1$ .

Ответы (1)

Зеркальная симметрия волновой функции со спином 1/2: определение оператора отражения

Хари · Answer 1

Вращение на 360° волновой функции со спином 1/2 действительно дает знак «-». Вы можете найти более подробную информацию в главе об угловом моменте в «Современной квантовой механике» Сакураи.

Конечно, этот знак минус не влияет ни на какие наблюдаемые, потому что мы вычисляем вероятности или ожидаемые значения, где знаки "-" на бюстгальтере и кетон компенсируют друг друга. Однако это можно экспериментально проверить с помощью интерферометрических экспериментов. Мы используем светоделитель на моноэнергетическом пучке нейтронов, чтобы создать два пути. Введите изменение фазы (= вращение кета, например, с помощью магнитного поля) на одном пути и посмотрите, повторяется ли условие максимальной/минимальной интерференции для изменения фазы, соответствующего повороту на 360° или 720°. Оказывается, предсказание квантовой механики верно!

Литература и эксперимент были полезны и помогли мне прояснить мой вопрос: отражение для частиц со спином 1/2 может быть выражено через поворот на +180° или -180°, что приводит к оператору отражения $\hat{M}_x = \mp i \sigma_x$ . Я думаю, что оба варианта одинаково верны, и не вижу необходимости ограничиваться одним из этих операторов. Если я применю два отражения, я мог бы взять два раза один и тот же оператор и всегда получить в результате знак "-", но если я возьму один оператор для первого отражения, а другой для второго, я не получу " -".
Если вы возьмете два раза одного и того же оператора, это фактически будет вращение на 360 ° со знаком минус. Если вы возьмете одного оператора для первого поворота, а другого для второго, вы, по сути, вернетесь в исходное состояние, поэтому вы не получите знака минус.

Зеркальная симметрия волновой функции со спином 1/2: определение оператора отражения

Маттиашо

Ответы (1)

Хари

Маттиашо

Хари

Симметризация (фермионной) двухчастичной системы без спина и со спином в волновой функции

Связь между синглетными, триплетными двухэлектронными состояниями и определителем Слейтера

Симметрия спиновой функции

Запись волновых функций со спином системы частиц

системы частиц, которые не являются симметричными или антисимметричными; Гелий 4

Система двух частиц

Вопрос о кварках и квантовой хромодинамике

Нарушают ли квантовые измерения требование симметризации?

Нахождение собственных состояний вращения вверх/вниз в произвольном направлении

Группы, действующие на физику - разъяснение по электронам и спину