Определение пространственно-временного интервала

Question

Определение пространственно-временного интервала

Серебро

Пространственно-временной интервал определяется следующим образом:

Δ с^{2} "=" - (с Δ т)^{2} + Δ {Икс}^{2} + Δ у^{2} + Δ г^{2}

$\Delta s^2 = -(c\Delta t)^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2$

или в тензорной записи:

Δ с^{2} "=" η_{мю ν} Δ {Икс}^{мю} Δ {Икс}^{ν}

$\Delta s^2 = \eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu$

Когда я впервые изучал вводную специальную теорию относительности, я даже не обращал особого внимания на эту величину — в основном это было замедление времени, сокращение длины и причудливые парадоксы.

Однако сейчас это привлекло мое внимание. Книга, которую я читаю, просто определяет количество и утверждает, что оно неизменно.

Теперь, просто из тензорного анализа и игнорирования специальной теории относительности, $\eta_{\mu\nu} \Delta x^\mu \Delta x^\nu$ выглядит как сжатое произведение дважды ковариантного тензора с двумя контравариантными тензорами, математически доказывая, что это инвариант. Большой!

Но чего я не понимаю, так это почему инвариант пространства-времени определяется именно так? Почему это $-(c\Delta t)^2$ , и не $(c\Delta t)^2 + \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2$ ?

Мне нужна физическая мотивация этой формулы.

Ответы (6)

Определение пространственно-временного интервала

Эндрю Стин · Answer 1

Вот два разных способа представить предмет специальной теории относительности. Оба способа хороши, и каждый может быть использован для получения другого.

Подход 1: принципы симметрии. Мы утверждаем постулат относительности (физическое поведение одинаково по отношению к инерциальной системе отсчета, независимо от состояния относительного движения этой инерциальной системы отсчета с другими) и постулат скорости света (существует конечная максимальная скорость для сигналов). Из них мы можем вывести преобразование Лоренца и, следовательно, какие величины являются инвариантными. Пространственно-временной интервал является одной из таких величин.

Подход 2: геометрические утверждения о пространстве-времени. Мы утверждаем, что пространство-время является гладким дифференцируемым многообразием с метрикой Минковского $\eta$ . Метрика сама по себе является утверждением того, что является инвариантным; преобразование Лоренца $\Lambda$ тогда определяется как тот класс преобразований, который удовлетворяет

Λ^{Т} η Λ "=" η

$\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ (Здесь я использовал матричную запись, в которой

T

$T$ является транспонированием и

η

$\eta$ имеет компоненты

η_{a b}

$\eta_{ab}$ .)

Ваш вопрос ближе всего по духу к подходу 2. Тогда возникает вопрос: «Почему метрика Минковского? Почему не какая-то другая метрика?» Ответ лежит в основе того, какая у нас вселенная. Можно возразить, что если бы метрика была, например, 4-мерным евклидовым пространством, то не было бы никакого смысла, в котором время отличалось бы от пространства, и это означало бы настолько иной порядок вещей, что трудно даже описать ее как физическую вселенную, где могут существовать законы сохранения типа, позволяющего выделять и обозначать вещи по их мировым линиям. Не было бы ощущения границ причинности, прошлого и будущего. Другие показатели, которые вы можете рассмотреть, такие как diag(-1,-1,1,

Так что, поскольку можно говорить о «физической мотивации, стоящей за этой формулой», как вы спрашиваете, это было бы «хорошо, это глубоко и напрямую связано с понятием причинности и причинной структуры пространства-времени. Оно также выражает представление о том, что одно пространственное направление так же хорошо, как и другое в базовой структуре пространства-времени».

Турботантен · Answer 2

Леонард Сасскинд, профессор Стэнфордского университета, дал прекрасное объяснение того, почему пространственно-временной инвариант определен именно так. Я включил ссылку на видео , с которого он начинает говорить на эту тему, если вы хотите его посмотреть.

Он сравнивает пространство-время с евклидовой геометрией, где нормальная теорема Пифагора говорит, что квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов расстояния в вашей системе координат. то есть $c^2= a^2+b^2$ . Это величина, которая является инвариантной, т. е. мы могли бы повернуть нашу систему координат и описать наш новый набор точек в новой системе координат со штрихованными координатами, тогда у нас была бы следующая инвариантная величина между нашими новыми и старыми координатами, $a^{\prime 2}+b^{\prime 2} = a^2 + b^2$ . Подобно пространству-времени, мы также ищем инвариантную величину, с которой согласятся все наблюдатели в разных системах отсчета. Если мы начнем с преобразования Лоренца ( $c=1$ ), у нас есть

{Икс}^{'} "=" \frac{(Икс - в т)}{\sqrt{1 - в^{2}}} т^{'} "=" \frac{(т - в Икс)}{\sqrt{1 - в^{2}}}

$x^\prime = \frac{(x-vt)}{\sqrt{1-v^2}} \quad t^\prime = \frac{(t-vx)}{\sqrt{1-v^2}}$ Найдем инвариантную величину. Мы могли бы начать и попробовать с

t^{' 2} + x^{' 2} = t^{2} + x^{2}

$t^{\prime 2}+x^{\prime 2} = t^2 + x^2$ , подставляя

x^{'}

$x^\prime$ и

t^{'}

$t^\prime$ в уравнение мы заметим, что оно не читается

t^{2} + x^{2} = t^{2} + x^{2}

$t^{2}+x^{2} = t^2 + x^2$ , так что это не инвариантное свойство в пространстве-времени. Но если мы попробуем

t^{' 2} - x^{' 2} = t^{2} - x^{2}

$t^{\prime 2}-x^{\prime 2} = t^2 - x^2$ и проделав ту же процедуру, мы обнаружим, что это инвариантное свойство!

Большой! Моя книга только что определила пространственно-временной интервал, а затем заявила, что преобразования Лоренца — это те преобразования, которые сохраняют этот интервал неизменным. Делать это другим способом кажется мне более интуитивным.
Как вы думаете, вы могли бы включить аргументы Сасскинда в этот пост? В противном случае это будет считаться ответом «только для ссылки» и, вероятно, будет удалено.
Вы можете сделать это в любом случае. Большинство студентов сначала предпочитают преобразование Лоренца; потом когда углубляешься в предмет, особенно если переходишь к ОТО, то начинаешь влюбляться в метрику и геометрию, и тогда на первое место ставишь интервал.

вальбер97 · Answer 3

Давайте определим событие $A$ , источник света исходит из источника в $t=0$ . Пусть во время $t$ свет достигает точки $B$ . Пусть координата пространства $(x, y, z)$ . Если расстояние, пройденное светом за время $t$ дан кем-то

с^{2} т^{2} "=" {Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}

$c^2t^2=x^2+y^2+z^2$

с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2} "=" 0.

$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0.$

Рассмотрим другую систему отсчета X', которая движется со скоростью $v$ . Наблюдение того же события в пространстве Минковского дает

с^{2} т^{' 2} "=" {Икс}^{' 2} + у^{' 2} + г^{' 2}

$c^2t'^2=x'^2+y'^2+z'^2$

с^{2} т^{' 2} - {Икс}^{' 2} - у^{' 2} - г^{' 2} "=" 0.

$c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=0.$
Мы назвали этот термин интервалом. Это событие показывает, что если интервал имеет нулевое значение в одной системе отсчета, он должен быть равен нулю во всей инерциальной системе отсчета, поскольку свет имеет постоянную скорость во всех системах отсчета (Постулат специальной теории относительности). Таким образом, интервал между любыми двумя событиями

X

$X$ и

X^{'}

$X'$ координат имеет линейную зависимость. Предположим, что наблюдатель в

X

$X$ кадр

X^{'}

$X’$ кадр движется с некоторой скоростью

v

$v$ то линейная зависимость интервала определяется выражением

с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2} "=" α (с^{2} т^{' 2} - {Икс}^{' 2} - у^{' 2} - г^{' 2}) .

$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=\alpha (c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2).$ Где

α

$\alpha$ зависит только от величины скорости. В противном случае это будет противоречить изотропности пространства. Если наблюдатель находится в

X^{'}

$X'$ кадр, затем

X

$X$ кадр будет двигаться со скоростью

v

$v$ . Таким образом, линейная зависимость интервала определяется выражением

с^{2} т^{' 2} - {Икс}^{' 2} - у^{' 2} - г^{' 2} "=" α (с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2}) .

$c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=\alpha(c^2t^2-x^2-y^2-z^2).$ Подстановка этого в приведенное выше уравнение дает,

с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2} "=" α^{2} (с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2}) .

$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=\alpha^2(c^2t^2-x^2-y^2-z^2).$ Который дает

α = 1

$\alpha=1$ .Таким образом, интервал

с^{2} т^{' 2} - {Икс}^{' 2} - у^{' 2} - г^{' 2} "=" с^{2} т^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2}

$c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$ является инвариантом относительно преобразования Лоренца.

Постоянство света и изотропность пространства определяют инвариантный интервал.

Дж.М.Л.Картер · Answer 4

Потому что это позволяет вам быстро распознать возможную причинно-следственную связь между двумя событиями. Итак, (отмечая доп. $\Delta$ вы добавили до того, как s удалено)

$s>0$ (подобно пространству) больше пространства между ними, чем свет может пересечь во времени => нет причинно-следственной связи
$s=0$ (светоподобный) ровно на "световом конусе"
$s<0$ (подобно времени) меньше пространства между ними, чем свет может пройти за время => Возможна причинно-следственная связь

Это то, как свет работает «против пространства» или, скорее, путешествует в пространстве, которое моделируется. Это не то же самое, что величина векторного измерения расстояния.
Очевидно, вы могли бы дать $(c\Delta t)^2$ того же знака, что и расстояния. Результирующая величина, хотя и имеет некоторое применение, будет просто вектором в пространстве-времени, она не будет иметь такого же (или такого же, на мой взгляд, большого) физического значения... -временной интервал".

Кроме того, обратите внимание, что есть выбор, использовать ли знаки -++++ или +--- для терминов в уравнении, этот выбор -++++ является просто вопросом соглашения.

(Что действительно здорово, так это то, что можно показать, что s сохраняется при преобразовании Лоренца, доказывая, что на причинно-следственную связь нельзя повлиять, просто изменив вашу систему отсчета. Аккуратно.)

Я не понимаю, как это может иметь какое-либо применение, если вы используете физически неправильный знак в метрике Минковского. Какая польза в евклидовой геометрии от Пифагора с неправильным знаком?

бланки · Answer 5

Отвечая на исходный вопрос, почему пространственно-временной интервал «определяется» обратным знаком временной составляющей по сравнению с пространственной частью. Как сказал Фейнман, вы должны быть осторожны с определениями в физике. (Фейнман говорил об определении массы как силы, превышающей ускорение, а это означает, что Ньютон никогда не сможет доказать свою неправоту, так как это всегда верно по определению! Конечно, f = ma должно быть результатом или наблюдением относительно физической вселенной, а оказывается, приближение). Пространственно-временной интервал — это физический закон и наблюдение о Вселенной, подлежащее прямым и косвенным измерениям и чрезвычайно хорошо проверенное множеством экспериментов. Лучше не думать об этом как о таинственном определении, это невероятное открытие о физической вселенной. Мы не можем ожидать слишком многого в плане «причин» или определений для поддержки фундаментального физического закона. Хотя некоторые подсказки упоминаются в других опубликованных ответах. Точно так же теорема Пифагора в физике - это не определение, а наблюдение о пространстве, и оказывается, что она применима только приблизительно к физическому миру, что можно проверить измерениями, хотя и не работает вблизи черных дыр и очень незначительно везде, хотя, конечно, бесконечно малозаметна, кроме как с использованием специальных методов ( хотя можно утверждать, что некоторые косвенные последствия наблюдаются в повседневных явлениях). Лично я думаю, что пространственно-временной интервал может быть представлен первым просто потому, что даже старшеклассник, знакомый с Пифагором, может кое-что почерпнуть из него, тогда как преобразования Лоренца могут быть поняты только после изучения матрицы вращения. Хотя некоторые подсказки упоминаются в других опубликованных ответах. Точно так же теорема Пифагора в физике - это не определение, а наблюдение о пространстве, и оказывается, что она применима только приблизительно к физическому миру, что можно проверить измерениями, хотя и не работает вблизи черных дыр и очень незначительно везде, хотя, конечно, бесконечно малозаметна, кроме как с использованием специальных методов ( хотя можно утверждать, что некоторые косвенные последствия наблюдаются в повседневных явлениях). Лично я думаю, что пространственно-временной интервал может быть представлен первым просто потому, что даже старшеклассник, знакомый с Пифагором, может кое-что почерпнуть из него, тогда как преобразования Лоренца могут быть поняты только после изучения матрицы вращения. Хотя некоторые подсказки упоминаются в других опубликованных ответах. Точно так же теорема Пифагора в физике - это не определение, а наблюдение о пространстве, и оказывается, что она применима только приблизительно к физическому миру, что можно проверить измерениями, хотя она не работает вблизи черных дыр и очень незначительно везде, хотя, конечно, бесконечно малозаметна, кроме как с использованием специальных методов ( хотя можно утверждать, что некоторые косвенные последствия наблюдаются в повседневных явлениях). Лично я думаю, что пространственно-временной интервал может быть представлен первым просто потому, что даже старшеклассник, знакомый с Пифагором, может кое-что почерпнуть из него, тогда как преобразования Лоренца можно понять, только изучив матрицу вращения. Точно так же теорема Пифагора в физике - это не определение, а наблюдение о пространстве, и оказывается, что она применима только приблизительно к физическому миру, что можно проверить измерениями, хотя она не работает вблизи черных дыр и очень незначительно везде, хотя, конечно, бесконечно малозаметна, кроме как с использованием специальных методов ( хотя можно утверждать, что некоторые косвенные последствия наблюдаются в повседневных явлениях). Лично я думаю, что пространственно-временной интервал может быть представлен первым просто потому, что даже старшеклассник, знакомый с Пифагором, может кое-что почерпнуть из него, тогда как преобразования Лоренца можно понять, только изучив матрицу вращения. Точно так же теорема Пифагора в физике - это не определение, а наблюдение о пространстве, и оказывается, что она применима только приблизительно к физическому миру, что можно проверить измерениями, хотя она не работает вблизи черных дыр и очень незначительно везде, хотя, конечно, бесконечно малозаметна, кроме как с использованием специальных методов ( хотя можно утверждать, что некоторые косвенные последствия наблюдаются в повседневных явлениях). Лично я думаю, что пространственно-временной интервал может быть представлен первым просто потому, что даже старшеклассник, знакомый с Пифагором, может кое-что почерпнуть из него, тогда как преобразования Лоренца можно понять, только изучив матрицу вращения.

«Пространственно-временной интервал — это физический закон и наблюдение о Вселенной, подлежащее прямым и косвенным измерениям и чрезвычайно хорошо проверенное множеством экспериментов». Привет, не могли бы вы сразу назвать пару экспериментов, которые подтвердили пространственно-временной интервал, и как этот эксперимент сам сделал эту проверку?

Доктор Маурья Динеш · Answer 6

Возможно, никто не ответил правильный ответ, вот требуемый ответ

Скорость света или любая другая вещь не обязательно должна быть постоянной и не нуждается в четырехмерном пространстве (имейте это в виду), Эйнштейн никогда не раскрывал свой вывод интервала, иначе все знали бы ... насколько проста теория относительности, вместо этого все таинственное, в одном опорном кадре: Интервал есть (теперь выводим, раньше это был 3-й постулат и люди до сих пор живут в этом третьем мире постулатов)

$- (\Delta S)^2 = c^2 (\Delta t)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2$

Где $\Delta S = \dfrac{v\Delta \ell}{c}, \quad$ $\Delta \ell = \hat{i}\Delta x+\hat{j}\Delta y+\hat{k}\Delta z$ , $v$ - относительная скорость объекта, остальное понятно. Приведенное выше странное определение интервала выводится через полный релятивистский импульс. Теперь впервые вы сможете это понять.

Спасибо \
доктор Маурья Динеш

Определение пространственно-временного интервала

Серебро

Ответы (6)

Эндрю Стин

Турботантен

Серебро

Турботантен

Кайл Канос

Турботантен

Эндрю Стин

вальбер97

Дж.М.Л.Картер

бланки

бланки

Анейкей

Доктор Маурья Динеш

Почему необходимо, чтобы разные наблюдатели согласились со значением пространственно-временного интервала ds2ds2ds^2?

Расчет пространственно-временного интервала - что я делаю неправильно?

Почему собственное время является мерой пространства?

Вывод Клеппнера преобразования Лоренца

Преобразования, сохраняющие интервалы, линейны в специальной теории относительности.

Инвариантность скалярного произведения при преобразовании Пуанкаре

Доказательство того, что времениподобные и пространственноподобные пространственно-временные интервалы инвариантны в инерциальных системах отсчета.

Как именно преобразования Лоренца вращаются?

Каково физическое содержание инвариантности пространственно-временного интервала в ОТО?