Инвариантность скалярного произведения при преобразовании Пуанкаре

Преобразование Пуанкаре гласит:

Икс → Икс ′ "=" Λ Икс + а
Скалярное произведение сохраняется при преобразовании Лоренца. Однако я не вижу, как оно сохраняется при более общем преобразовании Пуанкаре,
Икс Т η Икс → Икс ′ Т η Икс ′ "=" ( Λ Икс + а ) Т η ( Λ Икс + а ) "=" ( Икс Т Λ Т + а Т ) η ( Λ Икс + а ) "=" Икс Т Λ Т η Λ Икс + а Т η Λ Икс + Икс Т Λ Т η а + а Т η а "=" Икс Т η Икс + а Т η Λ Икс + Икс Т Λ Т η а + а Т η а
Я не знаю, что делать с остальными терминами. Мне также нужно будет показать, что скалярное произведение
ты мю А мю ,
где ты мю это четыре скорости и А мю — векторный калибровочный потенциал, инвариантен относительно преобразований Пуанкаре. По сути, я пытаюсь по частям показать, что заряженная частица в электромагнитном поле инвариантна относительно преобразований Пуанкаре,
∫ ( − м + е А мю ты мю ) г т − ∫ г 4 Икс 1 4 ( Ф мю ν Ф мю ν )

Это не. Как внутренний продукт двух векторов положения при преобразовании Галилея. Вы должны смотреть на смещение или любую производную от позиции, а не на саму позицию

Ответы (2)

Количество Икс 2 "=" Икс мю Икс мю является инвариантом Лоренца, но не Пуанкаре, как вы ясно показали. Однако четвертая скорость определяется производной ты мю "=" г Икс мю г т и, следовательно, под Икс ′ "=" Λ Икс + а , у нас есть ты ′ "=" Λ ты . Теперь легко понять, почему ты мю А мю является инвариантом Пуанкаре с использованием ты ′ "=" Λ ты и А мю ′ ( Икс ′ ) "=" Λ мю ν А ν ( Икс ) .

Я не понимаю этого: почему А мю ( Икс ′ ) "=" Λ мю ν А ν ( Икс ) ? Разве это не должно быть что-то вроде: А мю ′ ( Икс ′ ) "=" Λ мю ν А ν ( Λ Икс + а ) + а мю ? Извините, но я очень запутанная душа! Пожалуйста, объясните это немного подробнее.
Извините, кажется, я сделал опечатку ранее. Теперь это исправлено. Нет, лишнего не будет а мю срок. Например, подумайте о скалярном поле ф ( Икс ) . Если человек выполняет перевод Икс ′ "=" Икс + а тогда у нас есть ф ′ ( Икс ′ ) "=" ф ( Икс ) или ф ′ ( Икс ) "=" ф ( Икс ) − а мю ∂ мю ф ( Икс ) (если а бесконечно мала). Та же идея применима и к векторному полю А мю ( Икс ) но поскольку это вектор при преобразовании Лоренца, он получает Λ срок.
Хорошо! Я понимаю. Главное понять тогда А мю является вектором преобразований Лоренца, а не всего преобразования Пуанкаре. Тогда я работал под ложным впечатлением.

Давайте посмотрим на вектор смещения с компонентами, явно записанными как Δ с "=" ( Икс мю − 0 мю ) . При полном преобразовании Пуанкаре эта разность координат преобразовалась бы как Δ с ´ "=" ( Λ Икс мю + а мю − ( Λ 0 мю + а мю ) ) , и тогда инвариантность скалярного произведения для 4 -векторов будет следовать из инвариантности относительно однородных преобразований Лоренца.

Инвариантность скалярного произведения при преобразовании Пуанкаре
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v