Как именно преобразования Лоренца вращаются?

Question

Как именно преобразования Лоренца вращаются?

Райдер Руд

Я всегда и везде видел, что преобразования Лоренца — это вращения в 4D. Давайте придерживаться 2D (одна ось пространства, одна ось времени) для простоты.

Вращения осей двумерного пространства выглядят совершенно иначе, чем двумерное преобразование Лоренца. Чтобы повернуть пространственные оси, мы поворачиваем обе оси x и y на угол одинаковой величины с одинаковым знаком. Это приводит к тому, что оси остаются под углом 90 градусов после поворота.

Но преобразования Лоренца в 2D выглядят как поворот пространственной и временной осей на угол одинаковой величины, но противоположных знаков. Оси не остаются под углом 90 градусов после преобразований Лоренца, вместо этого они образуют V-образную форму. Как это ротация? Используем ли мы какое-то обобщенное определение вращения? Кроме того, почему бы просто не повернуть и пространственную, и временную оси в одном направлении (так, чтобы они оставались на 90 градусов), как мы делаем с двумя пространственными осями? (Я читал, что причина, по которой мы не обращаемся с осью времени как с обычной пространственной осью, заключается в том, что мы не можем двигаться назад во времени. Если эта причина верна, пожалуйста, уточните ее. Как вращение обоих x а оси t в одном направлении означают, что мы движемся назад во времени?)

EDIT- https://www.mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm Я исхожу из этого текста. Ближе к концу первого абзаца говорится, что причина, по которой мы выбираем вращение «на противоположный знак», заключается в том, что мы не можем вернуться назад во времени.

Дэвид З.

Я удалил ряд комментариев, которые пытались ответить на вопрос и/или ответы на них. Имейте в виду, что комментарии следует использовать для предложения улучшений и запроса разъяснений по вопросу, а не для ответа.

Фробениус

Связанный: Как сложить непараллельные скорости? .

Ответы (3)

Как именно преобразования Лоренца вращаются?

Я удалил ряд комментариев, которые пытались ответить на вопрос и/или ответы на них. Имейте в виду, что комментарии следует использовать для предложения улучшений и запроса разъяснений по вопросу, а не для ответа.
Связанный: Как сложить непараллельные скорости? .

УиллО · Answer 1

Соответствующее обобщенное понятие «вращение» состоит в том, что вращение — это преобразование, которое фиксирует одну точку и сохраняет все расстояния. В евклидовом пространстве это означает, что если у вас есть две точки с координатами x, отличающимися на $\Delta x$ и y-координаты, отличающиеся на $\Delta y$ , то значение $\Delta x^2+\Delta y^2$ не зависит от поворота. В пространстве Минковского это означает, что $\Delta x^2-\Delta t^2$ не затронут.

Что побуждает нас использовать знак минус в последней формуле (кроме наблюдения постоянной скорости света)? Может быть, если бы мы оставили его положительным, это означало бы, что мы можем двигаться назад во времени?
Что мотивирует знак минус, так это то, что мы хотим, чтобы вращения сохраняли скорость света постоянной, как вы и предполагали.
Есть и другая мотивация. mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm В этом тексте Специальная теория относительности предсказывает только использование чистой математики (не полагаясь на наблюдение чего-либо, движущегося с максимальной скоростью). Используйте «Найти на странице: назад во времени» на этой странице.
@WillO Хороший и конкретный ответ, но я думаю, что было бы полезно немного больше подчеркнуть, что определение «расстояния» в этом контексте может варьироваться от одного типа вращения к другому, и что для преобразования Лоренца это совершенно другое понятие «расстояния», чем то, к которому мы привыкли в повседневной жизни.

Гэри Годфри · Answer 2

Повышение Лоренца — это не поворот на реальный угол. Вместо. это деформация на реальный угол. Преобразование осей x,t, когда обе они перемещаются внутрь на небольшой угол в радианах. $d\lambda$ (называемый параметром усиления Лоренца) хорошо известен инженерам-механикам в плоскости x, y. Инженер искажает квадрат в плоскости x,y так, что оба края квадрата смещаются внутрь на небольшой угол в радианах. $d\epsilon$ (так называемый штамм). Квадрат становится параллелепипедом. Матрицы, которые выполняют эти преобразования для небесконечно малых углов:

[\begin{matrix} с о с час (λ) & с я н час (λ) \\ с я н час (λ) & с о с час (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ с т \end{matrix}] а н г [\begin{matrix} с о с час (ϵ) & с я н час (ϵ) \\ с я н час (ϵ) & с о с час (ϵ) \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ у \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix} \quad and \quad \begin{bmatrix} cosh(\epsilon) & sinh(\epsilon)\\ sinh(\epsilon) & cosh(\epsilon)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix}$ Причина, по которой вы слышали, что ускорение в некотором роде является вращением, заключается в том, что физики старых времен делали ускорение похожим на привычное вращение, используя воображаемые углы и делая t воображаемым.

[\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ я с т^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} с о с (я λ) & - с я н (я λ) \\ с я н (я λ) & с о с (я λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ я с т \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(i\lambda) & -sin(i\lambda)\\ sin(i\lambda) & cos(i\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ я с т^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} с о с час (λ) & - я с я н час (λ) \\ я с я н час (λ) & с о с час (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ я с т \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & -i\ sinh(\lambda)\\ i\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ с т^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} с о с час (λ) & с я н час (λ) \\ с я н час (λ) & с о с час (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} Икс \\ с т \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ct'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix}$ Пространственно-космический параллелепипед оставляет напряжение

x^{2} - y^{2}

$x^2-y^2$ инвариант. Деформации параллелепипеда пространства-времени уходят

x^{2} - (c t)^{2}

$x^2-(ct)^2$ инвариант. Вращения уходят

x^{2} + (i c t)^{2}

$x^2+(ict)^2$ инвариант. Пожалуйста, посмотрите мой ответ на этот вопрос , если вы хотите больше математики.

Я не думаю, что «причина, по которой мы не относимся к оси времени как к обычной пространственной оси, заключается в том, что мы не можем двигаться назад во времени», является хорошим аргументом. Однако, если $ct>x$ повышение не может сделать $ct'<x'$ потому что $x^2-(ct)^2$ является инвариантным. Таким образом, если событие является каузальным в прямом световом конусе, то оно является каузальным в прямом световом конусе и во всех усиленных кадрах. Реальное вращение x и реального ct может превратить $ct>x$ в $ct'<x'$ и испортить причинно-следственную связь.

მამუკა ჯიბლაძე · Answer 3

В Википедии есть несколько хороших анимаций, показывающих, что преобразования Лоренца действительно являются своего рода вращением, например, этот

или это

Можно сказать, что они делают все возможное, чтобы выглядеть как вращение при условии, что они не пересекают световой конус.

Как именно преобразования Лоренца вращаются?

Райдер Руд

Дэвид З.

Фробениус

Ответы (3)

УиллО

Райдер Руд

УиллО

Райдер Руд

Дэвид З.

Гэри Годфри

მამუკა ჯიბლაძე

Почему необходимо, чтобы разные наблюдатели согласились со значением пространственно-временного интервала ds2ds2ds^2?

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Что такое событие в специальной теории относительности?

Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

Расчет пространственно-временного интервала - что я делаю неправильно?

О зависимости времени перехода между системами отсчета в специальной теории относительности

Является ли относительность одновременности просто недостатком восприятия? [дубликат]

Как вывести пространственно-временной интервал из преобразования Лоренца?