Доказательство того, что времениподобные и пространственноподобные пространственно-временные интервалы инвариантны в инерциальных системах отсчета.

Я пытаюсь понять обоснование использования метрики Минковского. Мне ясно, что это естественный выбор метрики, учитывая , что пространственно-временные разделения, обозначаемые ( − с 2 Δ т 2 + Δ Икс 2 + Δ у 2 + Δ г 2 ) инвариантны в инерциальных системах отсчета. Итак, следующий шаг — показать, что пространственно-временной интервал неизменен.

Ясно также, что все светоподобные пространственно-временные интервалы 0 и, следовательно, инвариант. Другими словами, если Δ с 2 "=" 0 в одном кадре, то это 0 во всех остальных ИРФ тоже.

Но для меня не очевидно, как показать, что пространственно-подобные и времениподобные пространственно-временные интервалы также инвариантны ( без предположения преобразования Лоренца ). Я посмотрел Почему пространство Минковского дает точное описание плоского пространства-времени? и Физические причины определения метрики в специальной теории относительности , и как бы хороши ни были ответы на эти вопросы, я все еще не нашел того, что искал.

Был бы признателен за любое руководство, как доказать, что пространственно-подобные и времениподобные пространственно-временные интервалы должны быть инвариантными. [Я тоже пытался погуглить, но безрезультатно]

Ответы (2)

Мне кажется, вы слишком многого здесь требуете. Вы говорите, что хотите продемонстрировать, что − с 2 Δ т 2 + Δ Икс 2 + Δ у 2 + Δ г 2 является инвариантным, но инвариантность — это бессмысленный ярлык, если вы не укажете, какие виды преобразований вы рассматриваете.

С математической точки зрения не было бы ничего противоречащего в том, чтобы считать группу преобразований симметрии между системами отсчета С О ( 4 ) , и принимая метрику пространства-времени за диаг ⁡ ( 1 , 1 , 1 , 1 ) . Чтобы признать, что эта модель не является хорошей моделью для вселенной, в которой мы живем, нам нужны физические данные .

Этот вход поступает в форме симметрии Лоренца. Вы упоминаете в комментарии

Но я ищу другой подход, в котором мы не используем LT. Насколько я знаю, это должно быть возможно. Используя изотропию, однородность и принцип относительности, мы можем заключить, что преобразование между ИСО является галилеевым или лоренцевским. Чтобы окончательно заключить, что это действительно Лоренц, мне нужно показать, что метрика Минковского, а для этого мне нужно показать интервальную инвариантность.

Преобразование Галилея в общем случае не сохраняет светоподобный интервал, а это означает, что луч света, движущийся в одном кадре, имеет скорость, отличную от скорости луча света, движущегося в другом. Для того, чтобы у вас была инвариантная скорость, нужно выбрать преобразования Лоренца, в которые инвариантная скорость входит как свободный параметр.

Это необходимый физический вклад. Поскольку мы наблюдаем, что свет распространяется с инвариантной скоростью, то мы можем сразу заключить (а) что инвариантная скорость вообще существует, так что истинные преобразования симметрии являются лоренцевыми, и (б) что параметр, который появляется в лоренцевом преобразовании трансформация с . Отсюда метрика должна быть ковариантной относительно преобразований Лоренца, что приводит вас к метрике Минковского.

Спасибо! Это хорошее объяснение, хотя я совершенно не согласен с тем, что я «слишком многого прошу». Физический ввод был именно тем, что я искал, и я знаю, что невозможно доказать инвариантность в строгом математическом смысле (без предварительного преобразования). Я предполагаю, что моя формулировка в вопросе была неясной - прошу прощения, если это не так. Я думаю, что можно доказать инвариантность с помощью физических соображений, даже если явное преобразование не указано.
@ShirishKulhari Когда я говорю «слишком много прошу», я имею в виду, что вы, казалось, просили математического обоснования метрики Минковского, не говоря о преобразованиях Лоренца . Такого оправдания нет, потому что Вселенная в принципе могла бы иметь другую структуру — просто замечено, что она не такова.
Ах я вижу. Моя вина за неправильное толкование вашего комментария. Математическое обоснование метрики Минковского, безусловно, невозможно без предварительного знания о LT. Но, возможно, я мог бы возразить, что есть физическое оправдание. Если я знаю, что величина, которую мы называем пространственно-временным интервалом, инвариантна, то имеет смысл выбрать метрику Минковского (хотя это далеко не строгое обоснование). Выбирать любую другую метрику было бы глупо. Даже учитывая LT, мы по-прежнему неявно предполагаем, что все IRF характеризуются одной и той же метрикой, и мы приходим к Минковскому, поскольку... (продолжение)
(продолжение)... это метрика, сохраняемая LT. Ничто не мешает мне выбрать произвольную метрику, меняющуюся от кадра к кадру, но это было бы совершенно глупо.

Чтобы выполнить такой расчет, вы должны подумать о том, как вы можете связать пространственные и временные координаты из одной системы отсчета в другую. Ответ здесь . Постарайтесь подумать, прежде чем переходить по ссылке.

Спасибо! Итак, я знаю о преобразовании Лоренца. Его можно вывести из постулата о том, что скорость света постоянна, и я могу показать инвариантность интервала с помощью LT. Это один подход. Но я ищу другой подход, в котором мы не используем LT. Насколько я знаю, это должно быть возможно. Используя изотропию, однородность и принцип относительности, мы можем заключить, что преобразование между ИСО является галилеевым или лоренцевским. Чтобы окончательно заключить, что это действительно Лоренц, мне нужно показать, что метрика Минковского, а для этого мне нужно показать интервальную инвариантность.
Хорошо. Итак, записав пространственно-временной интервал в форме Δ с 2 "=" − с 2 Δ т 2 + Δ Икс 2 + Δ у 2 + Δ г 2 вы уже предполагаете, что используется метрика Минковского, в которой линейный элемент имеет значение г с "=" − с г т + г Икс + г у + г г .
Мой плохой, я должен был быть яснее. Я отредактировал вопрос соответственно.
Справедливое замечание - я понимаю, как это может ввести в заблуждение. Тогда давайте не будем называть это «пространственно-временным интервалом» на данном этапе. Скажем так, я хочу доказать, что − с 2 Δ т 2 + Δ Икс 2 + Δ у 2 + Δ г 2 является инвариантным. И скажем, я не утверждаю, что это какое-то "расстояние" - это просто некоторая величина.
Я до сих пор не понимаю, почему вы хотите доказать подобные вещи другим способом, потому что, как вы сказали, LT естественным образом возникают при принятии принципа относительности. Может быть, я все еще плохо понимаю ваш вопрос. Но возвращаясь к вашему первому комментарию, если вы принимаете принцип относительности, то не нужно делать никакого другого преобразования, кроме LT, поскольку преобразование Галилея добавляет скорости без учета абсолютного верхнего предела.
Это хороший момент, но обратите внимание, что предположение о наличии верхнего предела скорости и предположение об инвариантной скорости света — разные вещи. Что касается того, почему - потому что мне интересно изучать альтернативные подходы - доказывать вещи по-другому, а не останавливаться на одном правильном и двигаться дальше :) Надеюсь, я не звучу грубо
Ну, извините за мое плохое выражение. Я имел в виду, конечно, постулат Эйнштейна, согласно которому скорость света не зависит от любой системы отсчета. Я понимаю, что вы не хотели бы придерживаться только одного объяснения, но, насколько я понимаю, нет никакого способа доказать то, что вы пытаетесь доказать, не принимая ни LT, ни метрику.
Доказательство того, что времениподобные и пространственноподобные пространственно-временные интервалы инвариантны в инерциальных системах отсчета.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v