Определение расстояния от большой полуоси и эксцентриситета

Предполагая, что масса объекта пренебрежимо мала по сравнению с массой Земли, можно вывести период обращения$T$из 3-го закона Кеплеро:

$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(m_E + m_b)} \approx \frac{4\pi^2}{Gm_E},$

куда$a$полумажор. С$T$, для каждого момента времени вы также знаете среднюю аномалию$M$, заданный (предположим$t = 0$в перигее):

$M(t) = \frac{2\pi}{T}t$.

Численное решение уравнения Кеплеро для эксцентрической аномалии$E$(куда$e$это эксцентриситет)

$M = E - e\sin E$

а затем используйте следующее уравнение, чтобы получить истинное анонимное$\nu$, который представляет собой угол между направлением перицентра и текущим положением тела, если смотреть с Земли:

$\cos \nu = \frac{\cos E - e}{1 - e\cos E}$и$\sin \nu = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1 - e\cos E}$.

Расстояние от Земли просто определяется уравнением орбиты

$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos \nu}$.

Если я не ошибаюсь в расчетах, то должно быть:

$T = 9364 s = 2.6 h.$

$M(90min) = 207.60°$

$E(90min) = 203.11°$

$\nu(90min) = 198.95°$

$r = 11'366 km$

Чтобы получить пройденное расстояние, вы должны вычислить линейный интеграл уравнения орбиты.

@Dario_Panarello Я думаю, что то, что вы говорите, верно для невращающегося геоцентрического наблюдателя, но радиус Земли довольно велик по сравнению с орбитой, поэтому я не думаю, что геоцентрическое приближение работает хорошо.

У меня нет ответа, но я думаю, что решение выглядит примерно так:

где светло-голубой кружок — Земля, маленькая синяя точка — геоцентр, черная точка в синем кружке — центр эллипса, черный эллипс — орбита спутника, а две черные точки на эллипсе — перигей и конечное положение спутника соответственно.

Даже учитывая вращение Земли за 90 минут, я не уверен, что кто-либо на Земле мог видеть спутник как в перигее, так и в его конечном местоположении.

Я работаю над более полным ответом на https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/STACK/bc-solve-astronomy-13635.m .