Ошибочный вывод уравнения ракеты

Рассмотрим ракету в свободном пространстве с начальной массой (включая топливо)$m_0$использование/выброс топлива с постоянной скоростью$r$(масса за раз). Это означает, что во время$t$ракета имеет массу$m=m_0-rt$. Скорость выхлопа равна$v_e$.

При выстреле ракета придает$\dot{m}v_e$импульс в единицу времени (сила) на выхлопе (сначала я боролся, вот в чем проблема, но после дополнительных размышлений это кажется законным). Он должен быть равен (и противоположен) импульсу, сообщенному ракете за это время, и, следовательно, скорости изменения импульса.

$$-\dot{m}v_e = \frac{d}{dt} (mv) = \dot{m}v + m\dot{v}$$ замена в $m=m_0-rt$и $\dot{m}=-r$мы получаем $$rv_e = -rv + (m_0-rt)\dot{v}$$ применяя правило обратной цепочки (я знаю, что мог бы просто не расширять термин для импульса и получить тот же результат) и интегрируя $$rv_e = \frac{d}{dt} (m_0-rt)v$$ $$trv_e +c= (m_0-rt)v$$ переставляя, определяя константу (например, $v(t=0)=0$) и заменив $t=t_{final}$мы получаем это: $$\frac{\Delta v}{v_e}=\frac{tr}{m_0-rt} = \frac{\text{fuel mass}}{\text{vehicle mass}}$$

что сильно отличается от реального уравнения

$$\frac{\Delta v}{v_e} = \ln\left(\frac{m_0}{m_f}\right)$$

Я понимаю вывод этого уравнения, чего мне не хватает, так это того, в какой момент в выводе мой метод пошел не так. У меня есть ощущение, что заявление о том, что топливо выбрасывается с постоянной массовой скоростью, упростило некоторые расчеты и заставило меня пропустить член фактора, который дал бы экспоненциальный/логарифм, но это всего лишь догадка.