Вывод ракетного уравнения Циолковского

Мой учебник выводит уравнение ракеты из закона сохранения импульса следующим образом:

(1) п я "=" п ф м в "=" ( м − г м г ) ( в + г в ) + г м г ( в − ты ) м в "=" м в + м г в − г м г в − г м г г в + г м г в − г м г ты м г в "=" г м г г в + г м г ты

Здесь г м г - мгновенное изменение количества выбрасываемого топлива, и, следовательно, г м г "=" − г м , изменение массы ракеты. В учебнике написано выбросить г м г г в термин, поэтому мы имеем

(2) м г в "=" − ты г м

Принимая м как функция времени, мы можем тогда решить для Δ в :

∫ в 0 в 1 г в "=" − ты ∫ м 0 м 1 г м м в 1 − в 0 "=" Δ в "=" ты п ⁡ ( м 0 м 1 )

где м 1 - конечная масса ракеты после выброса − Δ м единиц топлива.

Мой вопрос касается связи между (1) и (2). В левой части (2) имеем м г в , которое получается из выражения ( м − г м г ) ( в + г в ) в 1). В этом выражении м представляет начальную массу ракетно-топливной системы (отсюда вычитаем г м г чтобы получить мгновенную массу). Аналогично, в (2) мне кажется, что м следует относиться к начальной массе ракеты м 0 , а не изменение массы в зависимости от времени.

Тогда (2) вместо этого читается

(2) м 0 г в "=" − ты г м

и просто

Δ в "=" − ты ( м 1 − м 0 м 0 )

Что здесь не так?

Я бы предпочел ответы, которые проясняют рассматриваемое доказательство, а не предоставляют альтернативные доказательства из закона Ньютона.

Вы можете увидеть, что уравнение (2) верно, если подумать о том, что оно означает. − ты г м - импульс, уносимый небольшим количеством движущейся массы. м г в изменение импульса ракеты. Они должны быть равны и противоположны, а значит масса м должна быть массой ракеты в момент выброса топлива, а не м 0
Мой вопрос касается вывода уравнения, а не его правильности.
Вывод правильный. Вашего кандидата на замену нет, как я показал. Всегда уместно отбрасывать произведение дифференциалов. Дифференциал уже «приближается к нулю», поэтому произведение «приближается к нулю» гораздо быстрее. Уравнение в дифференциалах является выражением отношения между линейными дифференциалами. Квадратичные члены отбрасываются как члены более высокого порядка, которыми в пределе можно пренебречь.

Ответы (2)

Поскольку ваша основная путаница связана с массой как функцией времени, давайте явно добавим метку времени с самого начала, чтобы было ясно, о чем мы говорим в явном виде.

У вас есть п я "=" п ф . То, что это действительно относится к п т "=" п т + г т . Неся эти метки времени, давайте повторим расчет, который делает ваш учебник.

(1) м т в т "=" ( м т − г м г , т ) ( в т + г в т ) + г м г , т ( в т − ты )
Обратите внимание, что я устранил любое использование т + г т от маркировки и выразил все этикеткой т . Это оправдано и необходимо: г м г это масса, выброшенная за время т что обуславливает массу ракеты в момент времени т + г т быть м т + г т "=" м т − г м г , т . Точно так же увеличение скорости г в вовремя т , что приводит к новой скорости в т + г т "=" в т + г в т .

Конечно, говоря об «увеличении во времени т " - это расплывчатый способ выражения, но если я хочу быть строго строгим, мне нужно начать говорить с точки зрения производных по времени, и это будет равносильно простому использованию закона Ньютона, который вы запретили мне делать :) Но я надеюсь, интуитивное значение моей маркировки имеет смысл.

Проведем остальные расчеты в этой маркировке. Однако нам не нужно делать это явно, потому что все символы имеют одну и ту же метку. т и поэтому мы можем просто добавить эту метку к конечному результату, который мы знаем из расчета в вашем учебнике. Вы можете явно выполнять вычисления с метками, начинающимися с Equation (1) и подтвердите, что это приводит к

м т г в т "=" г м г , т г в т + г м г , т ты (2) ⟹ м т г в т "=" − г м т ты
Здесь явно видно, что м т это масса во время т . Но давайте лучше разберемся в этом. Ответ не в трюке, который я проделал с т метки, которые просто увеличивают точку, но не создают ее. Дело в том, что когда вы пишете м г в "=" − г м ты , ты прав что м не представляет конечную массу, она представляет начальную массу, но это не проблема, на самом деле это желательно. Вы должны рассматривать это отношение как уравнение для г м и г в . Другими словами, он говорит вам, что если вы начнете с массы м тогда дифференциальное изменение массы и дифференциальное изменение скорости связаны формулой м г в "=" − г м ты где м - масса до дифференциального изменения. Теперь вы снова начинаете с массы м + г м и повторяйте тот же процесс до бесконечности. Или вы можете сделать интеграцию.

Комментарий к ответу OP

Термин г м г г в следует игнорировать, поскольку это дифференциальный член второго порядка. Кроме того, если вы сохраните срок, то вы получите на самом деле

м т + г т г в т "=" − г м т ты
который не может быть напрямую проинтегрирован из-за того, что все термины не представляют количества одновременно т .

С г т является бесконечно малым и в и м дифференцируемы на рассматриваемом интервале, в последнем уравнении нельзя ли взять г в т "=" г в т + г т и г м т "=" г м т + г т получить
м т + г т г в т + г т "=" − ты г м т + г т
и решить путем разделения переменных и интегрирования? Это тоже дает мне правильный ответ.
@Max Вы можете сделать это, потому что это по сути то же самое, что добавить некоторые условия второго порядка из воздуха (что компенсирует условия второго порядка, которые вы отказались игнорировать). Таким образом, вам придется сделать некоторую «аппроксимацию» во втором порядке, так или иначе, чтобы получить интегрируемое выражение. Вы понимаете мою точку зрения?

Я считаю, что указание учебника игнорировать г м г г в термин ошибочен.

Если мы оставим это и позволим м 0 обозначают начальную массу и г м "=" − г м г изменение массы, (1) сводится к

м 0 г в − г м г г в "=" ты г м г ( м 0 − г м г ) г в "=" ты г м г м г в "=" − ты г м

где м правильно относится к массе как функции времени. Это верно?

Боюсь, что нет. м 0 − г м г это не масса в какое-то время т . Это число бесконечно меньше, чем м 0 . Произведение двух дифференциалов отброшено.
Вывод ракетного уравнения Циолковского
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v