Откуда последний член в формуле двух линз: 1f=1f1+1f2−df1f21f=1f1+1f2−df1f2\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1} +\frac{1} {f_2} -\frac{d}{f_1f_2}?

Не могу не показать, как это делается с помощью матриц переноса лучей. В любой точке луча света есть два ключевых параметра: расстояние$x$точки от оптической оси, а угол$\theta$луча с горизонталью. Тогда любой оптический компонент системы можно представить в виде$2\times 2$матрица, преобразующая пару$(x,\theta)$для входящего луча в пару$(x',\theta')$для исходящего луча:

$$\begin{pmatrix}x'\\\theta'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\times&\times\\\times&\times\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\theta\end{pmatrix}.$$

Используя то, что вы знаете, вы можете легко записать, что

• у тонкой линзы есть матрица $$L=\begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f}&1\end{pmatrix}$$ где$f$- фокусное расстояние;
• толщина$d$пустого пространства имеет матрицу $$S=\begin{pmatrix}1 & d\\0&1\end{pmatrix}.$$

На вашу проблему: у нас объектив фокусного$f_1$(матрица$L_1$), пустое пространство и еще одна линза фокусного$f_2$(матрица$L_2$), поэтому матрица для всей системы — это просто произведение матриц в обратном порядке

$$M=L_2\ S\ L_1 =\begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f_2}&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & d\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\-\dfrac{1}{f_1}&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\dfrac{d}{f_1}&d\\-\left(\dfrac{1}{f_1}+\dfrac{1}{f_2}-\dfrac{d}{f_1f_2}\right)&1-\dfrac{d}{f_2}\end{pmatrix}$$

и вы можете прочитать фокусное расстояние в левом нижнем углу! Как видите, 99% моего изложения — это просто объяснение метода. Фактическое вычисление — это тривиальное систематическое произведение тройных матриц. Не нужно постоянно возиться с геометрией: вам просто нужно сделать это один раз, чтобы вывести матрицы для общих компонентов.

Есть способ вывести эту формулу без использования матриц переноса лучей, а вместо этого используя уравнение линзы. Нет ничего плохого в том, как ты пишешь$u_2$.

Во-первых ($f_1$) и вторая линза ($f_2$), разделенные расстоянием$d$, он держит

$\Large \frac{1}{f_1}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_m} \tag{1}$

и

$\Large \frac{1}{f_2}=\frac{1}{d-s_m}+\frac{1}{s_2} \tag{2}$,

где$s_m$это позиция изображения из$s_1$формируется относительно линзы 1. Окончательное изображение формируется на расстоянии$s_2$после второй линзы.

Часть информации, отсутствующая в этом анализе, заключается в том, что вы должны оставить некоторое расстояние$d_f$спереди и$d_b$за эквивалентной линзой, чтобы все работало . Таким образом, уравнение для эффективного фокусного расстояния имеет вид

$\Large \frac{1}{d_f+s_1}+\frac{1}{d_b+s_2}=\frac{1}{f_e}$

или, переписывая:

$\Large \frac{1}{d_f+s_1}-\frac{1}{f_e}+\frac{1}{d_b+s_2} = 0 \tag{3}$

Расчет происходит следующим образом:

1. Писать$s_2(s_m)$как функция$s_m$используя уравнение (2) и подставить его в уравнение (3)
2. Писать$s_m(s_1)$как функция$s_1$используя уравнение (1) и подставить его в уравнение (3). Теперь ур. (3) только функции$s_1,d_b,d_f,f_e$.
3. Запишите полученное уравнение (3) в виде дроби. Предположим, что знаменатель не$0$, мы можем найти числитель$= 0$. Этот числитель оказывается квадратным уравнением в$s_1$то есть$a_2 s_1^2 + a_1 s_1 + a_0 = 0$для любого значения$s_1$. Квадратичный многочлен всегда$0$тогда и только тогда, когда три его коэффициента равны$a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
4. Вам нужно решить для$f_e, d_f, d_b$используя три уравнения, данные$a_2 = a_1 = a_0 = 0$. Теперь вы понимаете, почему решение только для одного параметра не работает, потому что система будет чрезмерно ограничена.

Вы получите формулу двух линз для$f=f_e$, эффективное фокусное расстояние, указанное в ОП.