Отсутствует комплексное сопряжение в (1/2,1/2) представлении группы Лоренца Ticciati QFT

Я работал над некоторыми вычислениями, включающими представления группы Лоренца (сейчас использую фантастический учебник Ticciati QFT).

После некоторой работы Тиччати дает следующую формулу

$$D^{j_{1},j_{2}}(X_{i})=D^{j_{1}}(T_{i})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}+\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes D^{j_{2}}(T_{i}),$$ где$X_{i}$являются образующими группы Лоренца, записанными в соответствии с математическим соглашением без дополнительного множителя i, а$T_{i}$являются$\mathfrak{su}(2)$матрицы.

я вычислил$D^{0,1/2}(X_{k})$и$D^{1/2,0}(X_{k})$, получение$-\frac{i}{2}\sigma_{k}$в каждом случае. Этот результат согласуется с тем, что Тиччати получил в уравнении (6.7.9).

Проблема возникает, когда я вычисляю$D^{1/2,1/2}$. Я знаю, что мне придется выполнить замену базиса с использованием коэффициентов Клебша-Гордона, однако я получу правильную матрицу только в том случае, если добавлю комплексно-сопряженную формулу к формуле, которую дает Тиччати:

$$D^{j_{1},j_{2}}(X_{i})=D^{j_{1}}(T_{i})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}+\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes (D^{j_{2}}(T_{i}))^{*}.$$

Я нашел еще один пост: Доказательство того, что$(1/2,1/2)$Представление группы Лоренца - это 4-вектор , который делает то же самое, однако автор этого поста не объяснил, почему появляется это комплексное сопряжение.

Я попытался вывести формулу, используя комплексифицированную алгебру Лоренца

$$A_{k}=\frac{1}{2}(X_{k}+iB_{k}), \qquad C_{k}=\frac{1}{2}(X_{k}-iB_{k}),$$ а затем внедрять представителей в продуктовое пространство$\mathbf{C}^{(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$написав $$D^{j_{1},j_{2}}(A_{k})=D^{j_{1}}(T_{k})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}$$ и $$D^{j_{1},j_{2}}(C_{k})=\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes D^{j_{2}}(T_{k}).$$ К сожалению, я все еще получаю ту же проблему! Должно быть что-то, чего я не понимаю! Любая помощь будет оценена по достоинству.

* Редактировать: я даю здесь явный расчет для$X_{1}$с помощью комплексного сопряжения.

$D^{1/2,1/2}(X_{1})=\frac{-i}{2}\sigma_{1}\otimes \mathbf{I}_{2}+\mathbf{I}_{2}\otimes (\frac{-i}{2}\sigma_{1})^{*}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-i}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-i}{2} \\ \frac{-i}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-i}{2} & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & \frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\ 0 & 0 & \frac{i}{2} & 0 \\ \end{pmatrix}$

Затем автор в сообщении, на которое я ссылался выше, использует следующую матрицу для изменения базы (если бы кто-нибудь мог объяснить, где эта матрица получена, это было бы очень полезно!):$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & i & -i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

Тогда я получаю$U^{-1}D^{1/2,1/2}(X_{1})U=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=-iJ_{1}$