Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Комментарии к вопросу (v2):

1. Похоже, в литературе существует консенсус в отношении того, что сюръективность экспоненциального отображения

   $$\tag{1}\exp: so(1,d;\mathbb{R}) \to SO^+(1,d;\mathbb{R})$$ для ограниченной группы Лоренца для общих измерений пространства-времени$D=d+1$не имеет короткого доказательства.

   • Дело$d=1$тривиально.

   • Дело$d=2$можно доказать с помощью изоморфизма$SO^+(1,2;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z}_2$, ср. например , этот пост Phys.SE.

   • Дело$d=3$можно доказать с помощью изоморфизма$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$, ср. например Википедия и этот пост Phys.SE.

2. Уже экспоненциальная карта$\exp: sl(2,\mathbb{R}) \to SL(2,\mathbb{R})$не является сюръективным, см. например, этот ответ MO.SE и этот пост Phys.SE. Заметим, что алгебры Ли

   $$\tag{2}so(1,2;\mathbb{R}) ~\cong~ sl(2,\mathbb{R})$$ изоморфны, но только группа Ли$SO^+(1,3;\mathbb{R})$ибо левая часть изоморфизма (2) имеет сюръективное экспоненциальное отображение; не группа Ли$SL(2,\mathbb{R})$для правой стороны. Такой контрпример, как (2), несомненно, затрудняет попытку сформулировать обобщение (1) за пределами ограниченных групп Лоренца.$SO^+(1,d;\mathbb{R})$и доказательства в каждом конкретном случае. См. также этот пост Math.SE.

@Qmechanic: я полагаю, что есть проблемы с обсуждением Бейкером сюръективности в «Матричных группах». Вот цитата из конспектов лекций Жана Галье и Джоселин Квентанс в Пенсильванском университете: ( http://www.seas.upenn.edu/~jean/diffgeom.pdf )

1) диагонализируется, поскольку A = PDP−1, в теореме 6.9 (и теореме 6.10) отсутствуют некоторые возможные собственные значения, а матрица P не обязательно принадлежит SO0(n, 1) (как уже показывает случай n = 1). Для тщательного анализа собственных значений изометрий Лоренца (и многого другого) следует обратиться к Риссу [146] (глава III)".