Вывод неприводимых представлений группы Лоренца

Я пошел по пути классификации представлений групп Лоренца из Сексла, Урбантке, Относительности, групп и частиц (Нем. изд. 1975). Но я не понимаю этого, как я обрисовываю в следующем:

В вещественной алгебре Ли группы Лоренца справедливы следующие коммутационные соотношения:$[ M_\mu, M_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$,$[ N_\mu, N_\nu] =-\epsilon_{\mu\nu\lambda} M_\lambda$и$[ N_\mu, N_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} N_\lambda$.

Бесконечно малый элемент группы Лоренца определяется выражением$Id +\vec{\alpha}\bf{M}+\vec{v}\bf{N}$,$\vec{\alpha}$и$\vec{v}$(вектор вращения и вектор скорости, скорость света c=1) являются действительными параметрами. Если выбран другой базис$M^{\pm}_\mu = \frac{1}{2}(M_\mu\pm iN_\mu)$коммутационные соотношения переходят в следующие соотношения:

$[ M^\pm_\mu, M^\pm_\nu] = \epsilon_{\mu\nu\lambda} M^\pm_\lambda$, и$[M^+_\mu, M^-_\nu]=0$.

Это алгебра Ли прямой суммы$so(3)\oplus so(3)$(или$su(2) \oplus su(2)$если хотите) или, следовательно, все неприводимые представления группы Лоренца задаются неприводимыми представлениями группы$SO(3) \times SO(3)$. Моя проблема заключается в том, что для того, чтобы сделать этот аргумент, необходимо пройти через комплексные представления группы Лоренца, поскольку разложение алгебры Ли группы Лоренца работает только с комплексными числами. Теперь бесконечно малый элемент группы Лоренца определяется выражением$Id + (\vec{\alpha} - i\vec{v})\bf{M}^+ (\vec{\alpha} +i\vec{v})\bf{M}^-$но теперь параметры сложные. Делая это таким образом, это не меняет сводимости представлений по Секслу, Урбантке.

На самом деле у меня есть контрпример: посмотрите на следующий пример группы Лоренца.

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 \\E'_2 \\E'_3 \\B'_1 \\B'_2 \\B'_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0& 0 & 0&0\\ 0 & \gamma & 0 & 0 & 0& -\gamma v\\ 0 & 0& \gamma & 0 &\gamma v & 0\\ \gamma & 0 & 0& 1& 0 & 0\\0 & 0& \gamma v& 0 & \gamma & 0 \\ 0 & -\gamma v &0 & 0& 0& \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} E_1 \\E_2 \\E_3 \\B_1 \\B_2 \\B_3 \end{array}\right)$$

Это реальное неприводимое представление группы Лоренца. Однако если теперь рассматривать комплексные представления, то базис можно заменить на комплексный базис и в рамках этого базиса представление сводимо и распадается на 2 неприводимых комплексных представления:

$$\left(\begin{array}{c} E'_1 + iB'_1\\E'_2+iB'_2 \\E'_3+iB'_3 \\E'_1-iB'_1 \\E'_2 -iB'_2\\E'_3 -iB'_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0&0 & 0\\ 0 &\gamma & i\gamma v& 0 & 0& 0\\ 0 &-i\gamma v & \gamma & 0 &0& 0\\ 0& 0& 0& 1 & 0 & 0\\ 0 & 0& 0& 0& \gamma & -i\gamma v \\ 0 &0& 0& 0 & i\gamma v& \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} E_1 + iB_1\\E_2+iB_2 \\E_3+iB_3 \\E_1-iB_1 \\E_2 -iB_2\\E_3 -iB_3\end{array}\right)$$

С вещественными параметрами представление неприводимо, тогда как при использовании комплексных чисел оно приводимо. Это означает, что использование действительных или комплексных чисел меняет теорию представлений.

Поэтому я не могу понять, почему представления группы Лоренца могут быть (так легко) классифицированы в соответствии с данным аргументом.

Тем временем я узнал, что использование комплексных чисел в теории групп Ли довольно удобно, но в физике почти все группы Ли являются$\bf{real}$группы и$\bf{real}$представления должны быть классифицированы и поняты. Я надеюсь, что кто-то здесь имеет более глубокое понимание, чем я, и может объяснить это мне.