Как доказать спинорное преобразование Вейля как представление группы Лоренца?

В моих конспектах лекций QFT написано, что элементы группы Лоренца могут быть записаны как

$$\begin{equation*} \Lambda = e^{i\vec{\theta}\cdot\vec{J} + i\vec{\eta}\cdot\vec{K}} \end{equation*}$$

где$\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$являются генераторами алгебры Лоренца.

После этого они пишут, что спиноры Вейля преобразуются при представлении группы Лоренца, как

$$\begin{equation*} \phi' = e^{i\frac{\vec{\sigma}}{2}\cdot\left(\vec{\theta} - i\vec{\eta}\right)}\phi \end{equation*}$$

Здесь, как$\Big\{\frac{\vec{\sigma}}{2}, -i\frac{\vec{\sigma}}{2}\Big\}$действительно удовлетворяет коммутационным соотношениям алгебры Лоренца, это действительно представление алгебры Лоренца$\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$. Однако не все представления алгебр Ли приводят к представлению группы Ли посредством возведения в степень. Итак, для случая спинора Вейля, как мы можем показать, что правило преобразования действительно является представлением группы Лоренца?