Группа вращения и группа Лоренца

Можно встроить$3\times3$матрицы вращения

$$R~\in~ SO(3)~:=~\{R\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid R^tR~=~{\bf 1}_{3\times 3}~\wedge~ \det(R)=1 \}$$

в$4\times4$Матрицы Лоренца

$$\Lambda~\in~ O(1,3)~:=~\{\Lambda\in{\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{R}) \mid\Lambda^t\eta \Lambda~=~\eta \}$$

как

$$SO(3)~\ni~R~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~ \Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 &R \end{array} \right]~\in~ O(1,3).$$

Нетрудно видеть, что это вложение $\Phi:SO(3)\to O(1,3)$является инъективным гомоморфизмом групп

$$\Phi(R_1 R_2)=\Phi(R_1)\Phi(R_2), \qquad R_1,R_2~\in~SO(3).$$

Соответствующие групповые операции для обеих групп представляют собой просто умножение матриц.

Да, это результат, строго сформулированный как: Существует правильная подгруппа$O(1,3)$изоморфен$SO(3)$. Он состоит из набора преобразований Лоренца вида:

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & R(3) \end{array}\right)$$

где$R(3)\in SO(3)$,

вместе с внутренней операцией умножения матриц. Почему это актуально? Ну, чтобы оценить, что некоторые важные топологические свойства группы Лоренца унаследованы от трехмерной группы собственного вращения.