Парадокс, когда я выводил уравнение Бернулли из уравнения энергии

У меня есть упражнение: вывод уравнения Бернулли (   п 1 + 1 2 р В 1 2 "=" п 2 + 1 2 р В 2 2 ) из уравнения энергии:

р Д ( е + В 2 / 2 ) Д т "=" ∇ ( п В )
Чтобы было ясно: р — плотность, e — внутренняя энергия одного бесконечно малого элемента, p и V — давление и скорость соответственно. с условиями: стационарное, несжимаемое, невидимое течение и отсутствие объемных сил.

Вот что было: Из-за невидимого потока я тогда подумал

Д е Д т "=" 0   ( * )
(может быть, я ошибся в этот момент)

Тогда у меня было уравнение:

р Д ( В 2 / 2 ) Д т "=" ∇ ( п В )
Мне было просто вывести уравнение Бернулли из приведенного выше уравнения, и я выполнил эту работу, но затем возникает одна вещь: уравнение Бернулли выполняется вдоль линии тока, рассмотрим линию тока ниже:введите описание изображения здесь

Позволять В 1 ≠ В 2 , то из уравнения Бернулли имеем п 1 ≠ п 2 . Предположим, что поток представляет собой идеальный газ, тогда из уравнения идеального газа: п "=" р р Т , Мы будем иметь Т 1 ≠ Т 2 (потому что р , R постоянны). Мы также знаем, что е = с в Т , с в - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Мы указываем: е 1 ≠ е 2 , это означает, что элемент с номером 1 имеет внутреннюю энергию, отличную от внутренней энергии элемента с номером 2 в данный момент времени. Но по прошествии некоторого времени элемент с номером 1 (имеет внутреннюю энергию е 1 ) перейдет к 2 и достигнет внутренней энергии е 2 поэтому мы можем сказать Д е / Д т ≠ 0 . Этот результат контрастирует с приведенным выше уравнением (*). Может ли кто-нибудь указать на мою ошибку?

Действительно, если вы собираетесь учитывать изменения температуры, то неверно предполагать, что Д е / Д т "=" 0 в начале.
Обычно мы используем уравнение Бернулли для определения различных значений давления, тогда мы должны иметь разные значения температуры из-за уравнения: п "=" р р Т . Если мы предположим, что температура не изменится, то в чем смысл уравнения Бернулли? T не изменится, тогда p не изменится, тогда V не изменится, если предположить, что T не изменится, это приведет к аналогичному парадоксу.
Ваше предположение, что внутренняя энергия не меняется, справедливо только для несжимаемого течения, как только частица жидкости сжимается, ее энергия, вообще говоря, меняется.

Ответы (3)

Вы должны были предположить, что жидкость несжимаема, чтобы написать Бернулли. Уравнение состояния такой жидкости определенно не является законом идеального газа. Или, наоборот, идеальный газ несжимаем. Чтобы применить к нему принцип Бернулли, нужно хотя бы предположить, что давления в начале и в конце линии тока равны. И то, что по линии тока не происходит теплопередачи.

Почему при применении принципа Бернулли давление в начале и в конце паропровода считается одинаковым, а давление должно меняться?

Уравнение Бернулли для стационарного течения сжимаемой жидкости имеет вид

час + 1 2 | в | 2 "=" с о н с т .
по линиям тока. Здесь час это энтальпия U + п В на единицу массы. Это сводится к выражению OP только тогда, когда р "=" 1 / В является константой.

С р постоянна, делает γ тоже нужно уйти в бесконечность?
@ Дата. В несжимаемом потоке давление не очень полезная величина, потому что оно принимает любое значение, необходимое для поддержания постоянного объема небольшого количества жидкости. Другими словами, уравнение Эйлера следует рассматривать как уравнение, определяющее п а не тот, в котором п определяет в . Например, вот почему гидравлические удары вредны для водопроводных систем — внезапная остановка потока, вызванная закрытием клапана, может привести к очень высокому давлению, которое может привести к разрыву трубопровода. Таким образом γ тоже довольно бесполезно.
Я так не думаю. Давление очень важно, если у вас есть несжимаемый поток над аэродинамическим профилем. Однако, не могли бы вы отредактировать свой ответ, чтобы манипулировать тем, как ваше уравнение сводится к моему выражению, когда р является константой? мне бы очень помогло
@Dat Идеальные газы не являются идеальными жидкостями (то есть несжимаемыми), см. cfd-online.com/Forums/main/… и facstaff.cbu.edu/rprice/lectures/idealgas.html .
Кроме того, то, что утверждает Майк Стоун, верно. Скорости оцениваются с помощью приближений пограничного слоя для несжимаемых потоков через аэродинамические поверхности, для которых затем решаются распределения давления и напряжения сдвига для получения коэффициентов подъемной силы и сопротивления.
@Dat Если В постоянна, и тепловые потоки отсутствуют (изэнтропия), то внутренняя энергия U на единицу массы постоянна. Также п В "=" п / р , так что мое выражение сводится к вашему.
Посмотрите на эту манипуляцию на задаче 7.13 ( drive.google.com/file/d/190A8k_okkTKAici08u-CX2YPQaMAEmb1/… ). Здесь та же проблема: свести (h + V^2/2 = const) к уравнению Бернулли. Автор использовал закон идеального газа и предположил, что γ приближаться к бесконечности. Как вы относитесь к этой манипуляции?
@GodotMisogi я прочитал сообщение на форуме cfd-online. Мартин Хегедус сказал: «Для несжимаемого потока сначала нужно найти давление и скорость, а затем температуру и плотность». Я понимаю, что p и V решаются из уравнений непрерывности и импульса. Но как Т и р решаются уравнением энергии? Для несжимаемого потока сводится ли уравнение энергии к уравнению Бернулли, которое представляет собой уравнение неразрывности и импульса? Значит, уравнение энергии для несжимаемой модели бесполезно?

После долгих размышлений я думаю, что понял проблему. Предположение Д е / Д т "=" 0 :

⟹ ∂ е ∂ т + в → ⋅ ∇ е "=" 0
верно для несжимаемого потока с тривиальным решением ∂ е / ∂ т "=" ∇ е "=" 0 , и применяется только для стационарного, невязкого, адиабатического потока. Уравнение сохранения, которое вы ищете:

Д Д т ( е + п р + в 2 2 ) "=" 0

Интегрируя это, вы получаете константу, которая считается полной энтальпией:

⟹ е + п р + в 2 2 "=" час 0
Физически внутренняя энергия газа обменивается с его кинетической энергией и давлением, в результате чего его полная энтальпия час 0 (условие, при котором жидкий элемент адиабатически останавливается с энтальпией, определяемой как час "=" е + п В , где В "=" 1 / р – удельный объем) постоянен вдоль линии тока.

Чтобы объяснить это в случае несжимаемого потока, рассмотрим уравнение Бернулли для сжимаемого газа в описанном вами случае, когда удельный объем (и, следовательно, плотность) не меняется:

час 2 − час 1 "=" с п ( Т 2 − Т 1 ) "=" с В ( Т 2 − Т 1 ) + п 2 − п 1 р "=" в 1 2 − в 2 2 2 , с п "=" γ р γ − 1 , с В "=" р γ − 1

Чтобы аппроксимировать несжимаемый газ в этой ситуации, пусть γ → ∞ , и вы получите уравнение Бернулли для несжимаемых течений вдоль линии тока, которое эквивалентно решению Андерсона с с п и уравнение состояния идеального газа.

Поскольку в разных точках пространства температуры различны, то и внутренние энергии различны (что фактически приводит к изменению внутренней энергии во времени вдоль линии тока по закону сохранения Д е / Д т "=" 0 [производная по направлению в направлении в → ]). Следовательно, ваши изменения энтальпии приводят к изменениям температуры при постоянном давлении (почти по определению) или изменениям давления при постоянном объеме), когда газ считается несжимаемым. Заметим, что в первом случае само течение несжимаемо.

У меня так много вопросов, сначала посмотрите на страницу 210, avionicsengineering.files.wordpress.com/2016/11/… Автор сказал: «Действительно, уравнение Бернулли можно вывести из общего уравнения энергии, такого как уравнение (2.114)». Я могу не вывести уравнение Бернулли из уравнения (2.114).
Во-вторых, зачем γ должен быть бесконечным? Вы заставляете γ чтобы быть бесконечным, чтобы вывести уравнение Бернулли из уравнения энергии, то есть вы добавляете дополнительное предположение. Это означает, что уравнение энергии сводится к уравнению Бернулли только тогда, когда вы принуждаете γ быть бесконечным и р быть постоянным. Но рассмотрим при обтекании профиля с М<<1, хотя р считается постоянным в этом случае, γ еще 1,4. Это означает, что в этом случае уравнение энергии не может быть сведено к Бернулли.
1. Некоторые допущения сводят уравнение энергии к следующему: р Д ( е + в → 2 / 2 ) / Д т "=" − ∇ ⋅ ( п в → ) . Для несжимаемого потока ∇ ⋅ в → "=" 0 , поэтому расширьте члены в предыдущем выражении и начните сокращать некоторые из них. Андерсон также охватывает этот вывод более широко для сжимаемого потока в уравнении. 7.49. 2. Для несжимаемого потока М → ∞ и М "=" γ р Т . Поскольку газовая постоянная и температура фиксированы, γ → ∞ . Таким образом, уравнение энергии сводится к уравнению Бернулли в несжимаемом потоке, как того требовал ваш вопрос.
Основываясь на вашем комментарии выше, у нас есть несжимаемый поток только тогда, когда γ → ∞ . Но рассмотрим поток над аэродинамическим профилем с M примерно 0,1 на уровне моря. С таким условием, я считаю γ по-прежнему 1,4, но почему люди до сих пор считают поток несжимаемым?
несжимаемость при М < 0,3 является приближением, сделанным в реальных экспериментах/симуляциях, поэтому математика менее громоздка. Я думаю, что разница в результатах варьируется примерно на 2% в пределах этой границы. Для вывода уравнения Бернулли должны быть выполнены определенные условия течения, которые предполагаются и при его выводе через уравнение количества движения.
Как рассчитать температуру для несжимаемого потока, например, для потока воздуха над аэродинамическим профилем с M < 0,3?
Используйте термометр.
Парадокс, когда я выводил уравнение Бернулли из уравнения энергии
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v