Уравнения Бернулли для различных жидкостей и объемных расходов

Question

Уравнения Бернулли для различных жидкостей и объемных расходов

Сёрен

У меня есть сомнения по поводу использования уравнения Бернулли, когда речь идет о нескольких объемных расходах.

Рассмотрим для примера устройство на картинке. По основной трубе течет вода, а в нижней емкости находится инсектицид, который всасывается в основную трубу. Объемный расход воды равен $Q_{W}$ , желаемый объемный расход инсектицида $Q_I$ . Итак, в точку $3$ скорость потока будет $Q_W+Q_I$ .

По учебнику скорости в точку $2$ и $3$ определяются как

в_{2, ш а т е р} "=" \frac{{Вопрос}_{Вт}}{π (\frac{г_{1}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{water}}=\frac{Q_W}{\pi (\frac{d_1}{2})^2}$

в_{2, я н с е с т я с я г е} "=" \frac{{Вопрос}_{я}}{π (\frac{г^{'}}{2})^{2}}

$v_{2,\mathrm{insecticide}}=\frac{Q_I}{\pi (\frac{d'}{2})^2}$

в_{3, м я Икс т ты р е} "=" \frac{{Вопрос}_{Вт} + {Вопрос}_{я}}{π (\frac{г_{2}}{2})^{2}}

$v_{3,\mathrm{mixture}}=\frac{Q_W+Q_I}{\pi (\frac{d_2}{2})^2}$

И я в порядке с этим. Проблемы связаны с использованием уравнения Бернулли в этом контексте (которое я нашел в учебнике).

Во-первых, BE используется для инсектицидов между точкой $1$ и $2$ , и у меня нет проблем с этим.

Но уравнение используется и между точкой $2$ и $3$ для воды , а затем для смеси , т.е.

п_{2} + \frac{1}{2} р_{ш а т е р} в_{2, ш а т е р}^{2} "=" п_{3} + \frac{1}{2} р_{ш а т е р} в_{3, м я Икс т ты р е}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{2,\mathrm{water}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{water}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

Дело в том, что в $3$ нет просто воды, но есть смесь, поэтому жидкость другая: можно ли в любом случае использовать уравнение Бернулли между двумя точками?

Мое предположение было бы отрицательным, потому что я мог бы также использовать уравнение Бернулли между $2$ и $3$ но учитывая insecide вместо воды

п_{2} + \frac{1}{2} р_{я н с е с т я с я г е} в_{2, я н с е с т я с я г е}^{2} "=" п_{3} + \frac{1}{2} р_{я н с е с т я с я г е} в_{3, м я Икс т ты р е}^{2}

$p_2+\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{2,\mathrm{insecticide}}=p_3 +\frac{1}{2} \rho_{\mathrm{insecticide}} v^2_{3,\mathrm{mixture}}$

И $v_{2,\mathrm{water}}\neq v_{2,\mathrm{insecticide}}$ так что это контрастирует с предыдущим уравнением (по крайней мере, разные значения $\rho$ решить проблему, в чем я сомневаюсь).

Также для использования Бернулли в $3$ Я предполагаю, что неправильно использовать одно конкретное значение $\rho$ , так как снова жидкость является смесью.

Итак, мой вопрос: есть ли какая-либо причина, по которой правильно использовать уравнение Бернулли между $2$ и $3$ в этом случае? И как его следует использовать?

Ответы (2)

Уравнения Бернулли для различных жидкостей и объемных расходов

Герт · Answer 1

В принципе, вы не можете применить Бернулли к тому, что на самом деле представляет собой (простую) сеть труб, но в некоторых случаях подойдет приближение.

Применим уравнение Бернулли к левому и среднему участкам трубы:

п_{1} + \frac{1}{2} р в_{1}^{2} "=" п_{2} + \frac{1}{2} р в_{2}^{2}

$P_1+\frac12 \rho v_1^2=P_2+\frac12 \rho v_2^2$

Поскольку жидкости несжимаемы ( $A$ сечение трубы):

А_{1} в_{1} "=" А_{2} в_{2}

$A_1v_1=A_2v_2$

Итак, простой заменой:

п_{2} "=" п_{1} - \frac{1}{2} р ((\frac{А_{1}}{А_{2}})^{2} - 1) в_{1}^{2}

$P_2=P_1-\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2$

Так как как $A_1 > A_2 \implies P_2 < P_1$

Теперь примените Бернулли к потоку инсектицида. В точку $1$ будем считать, что скорость потока пренебрежимо мала, а давление равно атмосферному ( $P_0$ ):

п_{0} "=" п_{2} + \frac{1}{2} р в_{я}^{2} + р г час

$P_0=P_2+\frac12 \rho v_i^2+\rho gh$

⟹ \frac{1}{2} р в_{я}^{2} "=" п_{0} - п_{2} - р г час

$\implies \frac12 \rho v_i^2=P_0-P_2-\rho gh$

С приведенным выше уравнением:

\frac{1}{2} р в_{я}^{2} "=" п_{0} - п_{1} + \frac{1}{2} р ((\frac{А_{1}}{А_{2}})^{2} - 1) в_{1}^{2} - р г час

$\frac12 \rho v_i^2=P_0-P_1+\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2-\rho gh$

Для того, чтобы вообще восходящий поток инсектицидов , т.е. $v_i > 0$ , затем:

\frac{1}{2} р ((\frac{А_{1}}{А_{2}})^{2} - 1) в_{1}^{2} > п_{1} - п_{0} + р г час

$\frac12 \rho \Bigg(\Big(\frac{A_1}{A_2}\Big)^2-1\Bigg)v_1^2 > P_1-P_0+\rho gh$

Если это условие не соблюдается, то средняя часть трубы действительно будет пропускать воду в дозатор инсектицидов!

Если оно выполнено и предполагается $v_i\ll v_1$ тогда ваш подход должен работать примерно. Но для большего $v_i$ вам нужно будет применить метод Креста для сетей труб .

У меня есть сомнения по поводу использования уравнения Бернулли, когда речь идет о нескольких объемных расходах.

Так что ваши сомнения оправданы, но для малых доз инсектицидов ваш примерный подход должен работать.

Глубокий · Answer 2

(нижние индексы $w,i,m$ соответствуют воде, инсектициду и смеси соответственно.)

Первый, $Q_m=Q_w+Q_i$ только если $\rho_w=\rho_i=\rho_m$ . В противном случае вы должны приравнять массовые расходы, $\dot{M}_m=\dot{M}_w+\dot{M}_i$ , найти $v_m$ , считая плотность смеси равномерной по сечению в точке 3.

Во-вторых, записанная вами форма уравнения Бернулли применима вдоль линии тока, только если плотность вдоль этой линии тока остается постоянной. Таким образом, вы должны найти линию тока, на которой изменение плотности незначительно по сравнению с некоторой эталонной плотностью, скажем, средней плотностью на этой линии тока. Я не знаю, какие из записанных вами уравнений Бернулли верны.

Уравнения Бернулли для различных жидкостей и объемных расходов

Сёрен

Ответы (2)

Герт

Глубокий

Сохранение энергии воды, вытекающей из небольшого отверстия на дне бутылки

Уравнение течения для системы соединенных резервуаров

Различие между статическим и динамическим давлением в жидкостях [закрыто]

Как оценить размер поврежденного отверстия в резервуаре? [закрыто]

Если разница давлений между двумя точками горизонтальной трубы постоянного радиуса равна нулю, то почему скорость потока не равна нулю?

Парадокс, когда я выводил уравнение Бернулли из уравнения энергии

Уравнение Бернулли и системы отсчета

Справедливо ли уравнение неразрывности при работе с вертикальными трубами?

Рассчитать расход воды через отверстие

Расстояние, пройденное водяной струей