Параллельная транспортировка вектора

Есть параметризованная кривая γ ( т ) на 4 -тусклый коллектор. Самопараллельный вектор Икс α ( т ) нужно найти кривую. По определению автопараллельных векторов ковариантная производная вектора вдоль кривой должна быть равна нулю.

В учебнике это дается так:

∂ Икс α ∂ т + Г β о α Икс β г γ о г т "=" 0

Я смущен тем, почему термин г γ о г т добавлен? Ничего подобного в определении ковариантной производной нет.

Не должен Икс α ( т ) быть г γ α г т потому что Икс α ( т ) является вектором к γ ( т ) ?
Икс α "=" Икс α ( т ) написано для стенографии.
Ковариантная производная от В β вдоль вектора U α является ∇ U В "=" U α В ; α β .

Ответы (1)

Как вы заметили, вектор переносится параллельно, когда его ковариантная производная вдоль кривой равна нулю. Другими словами, если в α "=" г γ α / г т является касательной к кривой, то уравнение параллельного переноса имеет вид

в о ∇ о Икс α "=" в о ∂ о Икс α + в о Г α β о Икс β "=" 0.
(В терминах обычного векторного исчисления это все равно, что сказать, что ( в → ⋅ ∇ → ) Икс → "=" 0 .) Но
в о ∂ о "=" г γ о г т ∂ ∂ γ о "=" г г т
и поэтому приведенное выше уравнение становится
в о ∇ о Икс α "=" г Икс α г т + г γ о г т Г α β о Икс β "=" 0 ,
по желанию.

Спасибо! Ключевым моментом здесь было понять, что γ ( т ) "=" ( γ 0 ( т ) , γ 1 ( т ) , γ 2 ( т ) , γ 3 ( т ) ) . Где γ α являются координатами пространства-времени.
Параллельная транспортировка вектора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v