Вопрос о многообразиях и преобразованиях координат

Предположим, что$\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$является функцией диаграммы. Если$p\in M$точка, то пишем

$$\varphi(p)=(x^1(p),...,x^n(p)),$$ так $\varphi$как местный $\mathbb{R}^n$-значная функция равна $n$местный $\mathbb{R}$-значные функции, которые являются координатными функциями диаграммы.

Следовательно (и потому что$\varphi$обратима), обратная функция задается выражением$\varphi^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow M$(Я злоупотребляю обозначениями, потому что обычно они не сопоставляются со всеми$\mathbb{R}^n$, интерпретируйте это как частичную функцию). Это значение для данного$n$-кортеж описывается как

$$\varphi^{-1}(x^1,...,x^n).$$ Здесь я снова злоупотребляю обозначениями, потому что $x^\mu$s теперь являются переменными в $\mathbb{R}^n$. Я не уверен, что именно является источником и темой вашего замешательства, но я предполагаю, что это как-то связано с этим. Мы используем $x^\mu$как (локальная) функция из $M$к $\mathbb{R}$, и как координата/переменная внутри $\mathbb{R}^n$.

Мы также можем сказать, что

$$p=\varphi^{-1}(x^1(p),...,x^n(p))$$ и здесь мы не злоупотребляли обозначениями.

Теперь пусть$\psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n$также будет функцией диаграммы, и предположим, что$U\cap V\neq\emptyset$. Чтобы упростить запись, я уменьшу$U$и$V$оба, чтобы они совпадали, и я просто использую$U$для обеих координатных областей.

Мы можем написать

$$\psi(p)=(y^1(p),...,y^n(p))$$ , поэтому координатные функции $\psi$теперь обозначаются $y$. Обратное утверждение $$p=\psi^{-1}(y^1(p),...,y^n(p)),$$ поэтому мы снова злоупотребляем обозначениями и думаем об обратной функции $\psi^{-1}$как функция переменных $y^1,...,y^n$.

В этих обозначениях функция перехода$\psi\circ\varphi^{-1}$является$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$функция, значение которой на данном элементе его области определения может быть записано как

$$(\psi\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)=(y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)),...,y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)))=(y^1(x^1,...,x^n),...,y^n(x^1,...,x^n)).$$

Здесь, в последнем уравнении, мы совершили гнусное злоупотребление обозначениями и «забыли»$\varphi^{-1}$- мы просто просмотрели функцию перехода$\psi\circ\varphi^{-1}$как функциональная связь между зависимыми переменными $y^\mu$и независимые переменные $x^\mu$.

Такое злоупотребление обозначениями очень распространено в дифференциальной геометрии — даже среди математиков. Потому что даже простые вещи были бы более или менее непостижимы, если бы мы использовали очень педантичные обозначения.

---

О самом вопросе: оптимальный ответ зависит от того, как вы думаете о касательных векторах. Обычно это либо включает точечные дифференцирования на кольце гладких функций, например. карты формы$f\mapsto v(f)\in\mathbb{R}$такая, что эта карта$\mathbb{R}$-линейный и удовлетворяет

$$v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g),$$ или как касательные векторы к кривым, и в этом случае существует отношение эквивалентности между гладкими кривыми, проходящими через $p$.

Связь между ними может быть определена следующим образом: если$\gamma$представляет собой гладкую кривую на$M$, проходя через$p$в$t_0$, и$f$— гладкая функция, определенная в открытой окрестности, содержащей$p$, то касательный вектор кривой$\gamma$в$p$дается выводом (при$p$) описан как

$$v(f)=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$ Кроме того, можно показать, что все деривации возникают таким образом.

Я буду использовать это в качестве примера, потому что таким образом очень легко исследовать поведение векторных компонентов.

Потому что$\varphi^{-1}\circ\varphi=\text{Id}$функцию тождества, мы можем написать

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$

Но что$f\circ\varphi^{-1}$? Это функция с несколькими переменными , которая отображает$x$-координаты к числам вместо абстрактных точек$p$. И что такое$\varphi\circ\gamma$? Это$\mathbb{R}^n$-значная кривая$(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$(предупреждение!! Злоупотребление обозначениями здесь!), описывающее однопараметрическое семейство$x$-координаты вместо абстрактных$p$-точки!

В частности, мы можем использовать обычное цепное правило обычного исчисления для вычисления этой производной, и мы получаем

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}\frac{d (x^\mu\circ\gamma)}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{dt},$$ где 1) все производные оцениваются там, где это необходимо, 2) в последнем уравнении мы снова сильно злоупотребили обозначениями, 3) действует соглашение о суммировании.

Но это конечно$v(f)$, так что мы можем "развязать"$f$отсюда и пиши$v$как

$$v=\frac{d x^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial x^\mu}.$$ Еще раз, $t$-производная оценивается в правильном месте, и мы отмечаем, что строго, $\partial/\partial x^\mu$не частная производная, а производная, которая действует, беря частную производную функции$x$-координатное представление (!!!) (так $\partial/\partial x^\mu$действует на $f$, но действительные частные производные действуют на $f\circ\varphi^{-1}$). Здесь мы можем написать $$v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu},$$ где $v^\mu=dx^\mu/dt|_{t=t_0}$и мы называем $v^\mu$компоненты $v$по графику $\varphi$.

Мы также можем проверить, что

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}(x^\nu)=\frac{\partial (x^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=\delta^\nu_\mu,$$ так что у нас есть $$v^\nu=v(x^\nu).$$

Затем мы можем спросить, каковы компоненты$v$относительно координат$y$? Мы оцениваем

$$v(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial(y^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=v^\mu\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu},$$ где последнее уравнение - по существу злоупотребление обозначениями.

(Этот ответ предполагает, что вы знаете дифференциальную геометрию и просто хотите знать, как физик получает это выражение.)

Позволять$V,W\subset\mathbb{R}^n$и$\psi : V\to U$и$\phi : W\to U'$быть графиками для$U,U'\subset M$на каком-то многообразии$M$. Тогда "смена координат" на$U\cap U'$это функция перехода

$$\phi^{-1}\circ \psi : V\to W.$$ Эта функция индуцирует естественную карту между касательными векторами . $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi) : TV\to TW,$$ который является якобианом преобразования, т.е. в каждой точке $x\in V$, у нас есть $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi)_x : T_xV\to T_xW, v\mapsto J(\phi^{-1}\circ\psi)(x)\cdot v.$$ Записано в стандартных координатах $\mathbb{R}^n$оба $V$и $W$являются подмножествами, якобиан - это в точности матрица с компонентами $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$Вы спрашиваете, где $x' = \phi^{-1}\circ \psi$.

Мы хотим, чтобы функции$\psi$быть дифференцируемыми именно потому, что мы хотим, чтобы они давали эту карту между касательными векторами. Если карты не дифференцируемы, на касательных векторах не индуцируется естественное отображение.

Напомним, что если$X$векторное пространство с базисом$(e_1,\ldots,e_n)$и соответствующий двойственный базис$(e^1,\ldots,e^n)$, затем$w = e^i(w)e_i$, для всех$w\in X$.

Мы применяем это для каждого касательного пространства многообразия. Основа$(\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n)$а дуал есть$(dx^1,\ldots,dx^n)$. Означающий, что$V^a=dx^a(V)$. Сходным образом,$V^{'a}=dx^{'a}(V)$. Теперь цепное правило говорит, что

$$dx^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} dx^b ,$$ откуда применить все это в $V$дает $$V^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} V^b,$$ как хотел.