Что имеется в виду, когда говорят, что «оператор частной производной ∂/∂xµ∂/∂xµ\partial/\partial x^\mu является ковариантным вектором»?

ОП формально прав, что

$$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}~\in~ \Gamma(TM|_{U})$$ является векторным полем (определенным в локальной координатной окрестности $U$), а не одноформенная. Что Вайнберг просто имеет в виду, небрежно говоря, что

Оператор частной производной$\partial/\partial x^\mu$является ковариантным вектором или, другими словами, 1-формой,[...]

это просто

Локальный базис векторных полей

$$\tag{1} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} ~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial}{\partial y^{\nu}}$$ трансформируется так же, как компоненты $$\tag{2} \eta^{(x)}_{\mu}~=~\frac{\partial y^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\eta^{(y)}_{\nu}$$ 1-формы/ковектора [или ковариантного (0,1) тензора] $$\eta~=~\eta^{(x)}_{\mu} dx^{\mu} ~=~\eta^{(y)}_{\nu} dy^{\nu}$$
при локальном преобразовании координат$x^{\mu} ~\to~ y^{\nu}=y^{\nu}(x)$.

Дело в том, что (традиционный) физик часто думает о$(r,s)$ тензор

$$T~=~ \frac{\partial}{\partial x^{\mu_1}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{\mu_r}} ~T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s} ~ dx^{\nu_1}\otimes \cdots \otimes dx^{\nu_s}$$ только по компонентам $T^{\mu_1\ldots\mu_r}{}_{\nu_1\ldots\nu_s}$, и, в частности, его свойство преобразования при преобразованиях локальных координат. Локальные базовые элементы, такие как, например, $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$и $dx^{\nu}$часто рассматриваются как просто средства бухгалтерского учета.

В заключение исх. 1, вероятно, не лучший учебник для изучения дифференциальной геометрии . Например, уже в ур. (4.11.12) на следующей странице 116 Вайнберг утверждает, что тот факт, что внешняя производная возводится в квадрат к нулю,$d^2=0$,

известна как лемма Пуанкаре.

Это точно не правильно, см. Википедия : Личность$d^2=0$означает, что точные формы замкнуты, а лемма Пуанкаре утверждает, что локально верно обратное: замкнутые формы локально точны (кроме нуль-форм).

Использованная литература:

1. С. Вайнберг, Гравитация и космология, 1972.

Позволять$X$— векторное поле на полуримановом многообразии$(M,g)$, то в локальных координатах векторные поля$\partial_\mu = \partial/\partial x^\mu$дают основу для касательного пространства в каждой точке многообразия. Это означает, что если$X\in TM$является векторным полем, то мы можем записать его как линейную комбинацию векторных полей координатного базиса$\partial_\mu$следующее:

$$\begin{align} X = X^\mu\partial_\mu \end{align}$$ Компоненты $X^\mu$определяемые этим соотношением, называются контравариантными компонентами векторного поля. Затем принято определять ковариантные компоненты этого векторного поля, «понижая» его векторный индекс, используя компоненты метрики $g$; $$\begin{align} X_\mu = g_{\mu\nu} X^\nu \end{align}$$ После того, как мы сделали это определение, мы замечаем, что если мы также определим базисные векторные поля координат $\partial^\mu$подняв индексы следующим образом, используя компоненты $g^{\mu\nu}$обратной метрики: $$\begin{align} \partial^\mu = g^{\mu\nu} \partial_\nu \end{align}$$ то исходное векторное поле $X$может быть записана как линейная комбинация его ковариантных компонент и векторных полей координатного базиса с приподнятыми индексами; $$\begin{align} X = X_\mu \partial^\mu \end{align}$$ Теперь возникает вопрос, какое отношение все это имеет к 1-формам? Итак, для полуриманова многообразия $(M,g)$, существует канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами в данной точке, который мы, как физики, обычно называем «поднимающим и опускающим индексами». В координатах этот изоморфизм работает следующим образом. Используя ковариантные компоненты векторного поля $X$, мы определяем одну форму $\mathbf X$к $$\mathbf X = X_\mu dx^\mu$$ Тогда отображение $X \mapsto \mathbf X$дает изоморфизм между $T_pM$и $T_p^*M$для каждого $p\in M$. Другими словами, ковариантные компоненты $X$можно рассматривать как в точности те компоненты, которые имеет его дуальная 1-форма при изоморфизме касательная-кокасательная.

Когда Вайнберг говорит, что$\partial/\partial x^\mu$является 1-формой, он немного небрежно обращается с терминологией (как это принято в физике). Этот объект на самом деле является векторным полем, но он дуален 1-форме посредством вышеупомянутого изоморфизма.

Насколько я понимаю, он не имеет в виду касательные векторы$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$, а к дифференциальному оператору. Обратите внимание, что он не использует множественное число, он говорит об одном объекте. А именно оператор со значением в форме 1, который отображает каждую функцию в ее градиент. Затем вы можете сформировать произведение клина с помощью этого оператора и$p$- форму для получения$(p+1)$-форма, которая является внешней производной от оригинала$p$-форма. Именно так он определяет внешние производные. Продукт клина представлен в предыдущих параграфах. Это кажется странным выбором обозначений и определений, но в то время это могло быть довольно стандартным.

О лемме Пуанкаре (с тех пор, как ее упомянул Qmecanic): я видел ряд мест, где$d^2=0$, для внешней производной, называется леммой Пуанкаре, например ссылка, которую дает Вайнберг, Фландерс, Х. «Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам».