Параллельное соединение двух конденсаторов

Рассмотрим эту схему:

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Я знаю, что вы не указали резистор в цепи. Его цель станет ясна позже.

Скажем, изначально$V_{C1} = 1V$и$V_{C2} = 0V$. Заряд в C1:

$$Q_{C1} = CV = 1F \cdot 1V = 1C$$

Полная энергия в цепи такая же, как энергия в C1, потому что в другом месте цепи нет другой накопленной энергии:

$$E_{C1} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(1C)^2}{2F} = 0.5J$$

Когда ключ замкнут, протекает некоторый ток. Общий заряд в цепи должен оставаться прежним, и мы видим, что напряжение на конденсаторах должно быть равным, когда цепь достигает равновесия.

$$Q_{C1} = Q_{C2} = 0.5C$$

$$V_{C1} = V_{C2} = \frac{Q}{C} = \frac{0.5C}{1F} = 0.5V$$

Энергия в конденсаторах равна:

$$E_{C1} = E_{C2} = \frac{(0.5C)^2}{2F} = 0.125J$$

У нас есть два таких конденсатора, поэтому общая энергия в два раза больше, 0,25 Дж. Изначально у нас было 0,5Дж. Где мы потеряли половину энергии?

Учтите, что в тот момент, когда переключатель был замкнут, на резисторе R присутствует напряжение 1 В. Таким образом, ток равен 1 В/R. Таким образом, мощность:

$$P = EI = 1V \cdot \frac{1V}{R} = \frac{(1V)^2}{R}$$

По мере уменьшения R мощность возрастает, приближаясь к бесконечности:

$$\lim_{R \searrow 0} \frac{(1V)^2}{R} = \infty$$

Таким образом, потерянная энергия была потеряна в виде тепла в R. Потерянная энергия одинакова для любого значения R. R нельзя сделать равным 0 Ом без получения бесконечной мощности, что невозможно.

Кстати, именно поэтому зарядовые насосы не могут быть эффективными на 100% .

Проблема здесь в том, что соединение двух конденсаторов с разным зарядом приведет к бесконечной величине тока, и это основная проблема при анализе цепи. Если вы ввели небольшой резистор (назовем его контактным сопротивлением переключателя), вы можете вывести формулу, которая предсказывает конечное напряжение на конденсаторах.

Но энергия будет теряться в резисторе, поэтому, используя формулу, вы можете предположить, что R становится все меньше и меньше, и с каждым уменьшением R вы обнаружите, что начальный ток становится все больше и больше, и вы должны быть в состоянии заметить, что$i^2$Потери Rt на самом деле не становятся меньше - они приближаются к постоянному значению, и чем меньше R становится, тем больше потери энергии остаются прежними. Это указывает на конечную потерю энергии.

Пожалуйста, учтите, что вы не можете закоротить два конденсатора вместе, и надейтесь получить разумные результаты, просто предполагая, что начальные отдельные энергии, хранящиеся в каждом конденсаторе, будут равны конечной энергии, когда они соединены параллельно. Этого не происходит ни в реальном мире, ни в теоретическом мире.

Что было забыто, так это то, что по мере уменьшения сопротивления R влияние индуктивности L цепи становится более значительным - у вас есть проволочная петля.
Итак, фактически у вас есть последовательная схема LCR с условием критического демпфирования.

$$R^2 = \dfrac{4L}{C}$$

Когда вы проводите анализ цепи CR, вы на самом деле анализируете цепь LCR, но с допущением, что сопротивление цепи намного больше, чем сопротивление для критического демпфирования, поэтому цепь передемпфирована, и вы получаете хорошие экспоненциальные кривые.

Если сопротивление очень низкое, то цепь недостаточно демпфирована, и заряды/токи/напряжения подвергаются затухающему простому гармоническому движению.
В таких условиях ускоряющие заряды, поскольку они не связаны (свободные электроны в проводнике), излучают электромагнитное излучение, которое является основой радиопередатчика.

Таким образом, часть энергии, рассеиваемой в цепи, превращается в тепло (омический нагрев), а часть — в электромагнитное излучение, и рассеиваемая мощность никогда не становится бесконечной.