Решение на самом деле не так уж плохо; У меня было это как проблема в физике AP в старшей школе. В нем не так много симметрии, как в концентрической оболочке, но в нем все же много симметрии — пока пещера и окружающее тело являются сферами, а окружающее тело имеет одинаковую плотность, вы можете лечить все. как осесимметричные относительно линии, соединяющей их центры.

Оттуда вы можете рассматривать пещеру как тело с отрицательной массой, гравитация которого добавляется к гравитации окружающего тела. Несколько неожиданный конечный результат заключается в том, что гравитация постоянна внутри сферической пещеры и антипараллельна смещению центра пещеры от центра окружающего тела.

Благодаря вращательной симметрии мы можем свести задачу к двум измерениям, чтобы показать, что поле на самом деле постоянно всюду в пещере.

Пусть объемлющее тело имеет радиус$R$и плотность$\rho$, смещение между центрами$d < R$, а пещера имеет радиус$r < R - d$. Гравитационное поле внутри тела однородной плотности равно$g \propto \rho x$. В расширенном до 2-х измерений полная гравитационная сила равна$g \propto \rho \sqrt{x^2+y^2}$, но разбивая на векторные компоненты, получаем$g_x \propto \rho \sqrt{x^2+y^2}\cos\theta = \rho \sqrt{x^2+y^2} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \rho x$и аналогично$g_y \propto \rho y$. Гравитация из-за отрицательного тела, которое создает пещеру при добавлении к окружающему телу, равна$g_x \propto -\rho (x-d)$и$g_y \propto -\rho y$. Складывая их вместе, мы получаем суммарные компоненты чистого вектора силы тяжести:$g_x \propto \rho x - \rho (x - d) = \rho (x - (x - d)) = \rho d$(т. е. ненулевая константа), и$g_y \propto \rho y - \rho y = 0$.

Таким образом, полная гравитация направлена ​​по оси, постоянна и зависит только от плотности окружающей сферы и эксцентрического расстояния. На самом деле это единственный известный мне способ получить точное постоянное, однородное гравитационное поле с конечным количеством материала (бесконечным вариантом является пространство над бесконечной плоскостью).

Чтобы получить фактическую силу (а не просто коэффициент, которому она пропорциональна), добавьте коэффициент$\frac{4 \pi G}{3}$получить$g = \frac{4 \pi G}{3}\rho d$.

Это классическая проблема в электростатике, то есть в аналогичной ситуации, когда нам нужно вычислить электрическую силу, действующую на объект внутри некоторой полости. Тот же метод решения применяется для ньютоновской гравитации и основан на так называемой суперпозиции . По сути, полость похожа на область пространства внутри сферы с плотностью массы.$\rho$с центром в точке$\mathbf{p}$, внутри которого вы поместили меньшую сферу с плотностью массы$-\rho$с центром в точке$\mathbf{p}'$. В области пересечения две плотности уравновешиваются, оставляя вам чистую плотность$0$.

Более простой случай

Скажем, у нас есть тело с одинаковой плотностью$\rho$. Мы можем использовать то, что называется законом Гаусса для гравитации . Его не следует путать с его двоюродным братом, законом Гаусса для электростатики, который обычно называют просто «законом Гаусса», или лежащей в основе их обоих математической теоремой, называемой теоремой о дивергенции или теоремой Гаусса. Независимо от того, как вы хотите называть это, закон звучит так:

$$\int_{\mathcal{S}}\mathbf{g}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=-4\pi G\int_{\mathcal{V}}\rho\mathrm{d}V$$ куда$\mathcal{V}$представляет собой поверхность с границей$\mathcal{S}$,$\mathbf{g}$гравитационное поле и$d\mathbf{A}$является элементом площади. Тогда в нашем случае однородной сферы $$g(r)\cdot4\pi r^2=-4\pi G\rho\frac{4\pi}{3}r^3$$ и $$g(r)=-\frac{4\pi G\rho}{3}r$$ Мы знаем это$\mathrm{d}\mathbf{A}$указывает радиально наружу, так же как и$\mathbf{g}$по сферической симметрии и т.д. $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}\mathbf{r}$$ как заявлено.

Моделирование пещеры

Принцип суперпозиции гласит, что для расчета гравитационного поля двух объектов мы можем просто сложить гравитационные поля, создаваемые каждым объектом. Назовем эти поля$\mathbf{g}_+$и$\mathbf{g}_-$, исходящий из сферы плотности$\rho$и сфера плотности$-\rho$, соответственно. Теперь мы просто применяем результат из последнего раздела:

$$\mathbf{g}_+(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{r}-\mathbf{p}),\quad\mathbf{g}_-(\mathbf{r})=\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{r}-\mathbf{p}')$$ Тогда полное гравитационное поле равно $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{g}_+(\mathbf{r})+\mathbf{g}_-(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{p}-\mathbf{p}')$$ которая постоянна, хотя и не равна нулю. Обратите внимание, что если сферы концентричны,$\mathbf{p}-\mathbf{p}'=\mathbf{0}$и поле исчезает — тот же результат, что и в старой доброй теореме о оболочках.