Площадь, охватываемая частицей под действием центральных сил, является приближением

Из второго закона Кеплера мы заключаем, что сохранение углового момента эквивалентно утверждению, что земная скорость постоянна,

И доказательство выглядит так

м р 2 θ ˙ "=" л
где л угловой момент.
г ( 1 2 р 2 θ ˙ ) г т "=" 0 . . . ( 1 )   ( а с   л   а н г   м   а р е   с о н с т а н т )

как взять элемент площадипо рисунку можем написать

г А "=" 1 2 р   р г θ . . ( 2 )
а из (1) и (2) получаем
г А г т "=" 1 2 р 2 г θ г т

теперь, поскольку угловой момент постоянен, мы говорим, что радиус-вектор заметает равные площади за равные промежутки времени.

Моя проблема в том,

(1). Для вычисления элемента площади мы берем аппроксимацию, так как же мы получаем точные результаты, (значит мы приравняли его к моменту количества движения только после аппроксимации, а не вообще)?

(2) Верен ли второй закон Кеплера с точностью до некоторого приближения? Потому что в конце мы позаботились только об аппроксимированном треугольнике, но осталась меньшая область (как показано на рисунке), которую мы не включили. А на планетарном уровне наша аппроксимация не пройдет?

(3) Могу ли я сказать, что это не приближение и я что-то упустил?

Примечание в конце: 3 вопроса на самом деле представляют собой 1 вопрос, просто написанный в баллах для удобства читателя. Я знаю политику.

Ответы (2)

Это просто стандартный прием исчисления. Это выглядит как приближение для конечного Δ θ , но по мере того, как вы делите область на все более мелкие части, ошибка стремится к нулю. Эти же рассуждения позволяют вам записать площадь под кривой в виде интегралов.

это выглядит как трюк, потому что я выбрал простой подход. то же самое, когда доказано другим способом, мы не берем г р г θ компонент, Также в доказательстве, сделанном в моем вопросе, за один шаг я должен предположить, что sin x = x, тогда только вы получите перпендикуляр,
Я не записал каждый шаг, но, как видите, чтобы доказать перпендикулярную высоту как р г θ вы должны принять sinx=x
Вы предполагаете грех ⁡ ( г θ ) / г θ "=" 1 , что верно в предельном случае, когда вы делите на все меньшие и меньшие части. Это точно такое же исчисление триггеров для интегралов.

Второй закон Кеплера не является приближением. В рамках классической механики это точный результат при условии, что два тела взаимодействуют с законом тяготения Ньютона.

Ключевым моментом является то, что ваше уравнение ( 3 ) является контролируемым приближением для области, заметаемой вектором положения. Под «контролируемым» я имею в виду, что можно показать, что ошибка по крайней мере порядка г θ 2 . Следовательно, поскольку для оценки конечной площади требуется интегрировать г А между начальным и конечным углом, приближение первого порядка для г А содержит информацию для получения точного результата.

И это мой вопрос, пренебрегая членом второго порядка, вы получите желаемый ответ. но на планетарном уровне это приближение второго порядка может привести к большой неточности.
@Kunalkumar, чтобы оценить интеграл, нужно взять предел Δ θ → 0 независимо от размера орбиты. Таким образом, не имеет значения, имеете ли вы дело с расстояниями на н м или п а р с е с .
вы правы, а как быть с ошибкой?
@Kunalkumar Когда вы берете лимит, ошибки нет. Это точно так же, как и для интеграла: если вы вычислите все пределы и найдете примитив, результат будет точным. Если вы оцениваете его численно, возникает (контролируемая) ошибка из-за дискретизации. Однако теоретические результаты соответствуют случаю, когда предел выполнен правильно и окончательной ошибки нет.
используем ли мы эти термины более высокого порядка в практических проектах (скажем, в НАСА)?
@Kunalkumar, ты имеешь в виду численное интегрирование? Что ж, для точных вычислений люди используют алгоритмы, которые делают ошибки более высокого порядка в интервале дискретизации. Как только ошибка дискретизации стала сравнима с ошибкой округления, уже ничего нельзя сделать. Однако с теоретической стороны здесь нет ни ошибки, ни приближения.
Площадь, охватываемая частицей под действием центральных сил, является приближением
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v