Площадь в Минковском пространстве-времени

Формула не специфична для евклидова пространства. Если нам дано абстрактное векторное пространство$V$с внутренним продуктом$\langle,\rangle$($V$действительно), мы определяем угол между двумя векторами как

$$\cos(\alpha)=\frac{\langle u,v\rangle}{||u||\cdot||v||} .$$ В частности, если $V=T_pM$, и $\langle,\rangle=g_p(,)$, то же самое остается в силе.

Учитывая псевдориманово многообразие$(M,g)$, элемент объема задается локально как

$$dM=\sqrt{|\det g|}d^nx,$$ это можно проверить, проверив, что $dM$координатно-инвариантна (метрический определитель преобразуется обратно к координатным дифференциалам) и в локально плоской положительно ориентированной системе координат сводится к $d^nx$, который, конечно же, является плоским элементом объема.

Теперь, если нам дана 2-поверхность в$M$, и параметризуется координатами$(u,v)$, индуцированная метрика на 2-поверхности имеет вид

$$(h_{ij})= \left(\begin{matrix} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}^2 & \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\cdot\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v} \\ \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}\cdot\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u} & \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}^2 \end{matrix}\right) ,$$ где квадрат и точки $g$-внутренние продукты. (На многообразиях мы обычно записываем векторы координат просто $\partial/\partial u$поскольку вектор положения $\mathbf{x}$не является четко определенным, но все же).

Элемент инвариантного объема (например, площади) на 2-поверхности задается выражением

$$\sqrt{|\det h|}dudv,$$ что, как вы можете проверить, совпадает с тем, что вы написали.

---

Редактировать:

О формуле угла: Вы правы. Я был сбит с толку, когда вы сказали, что формула угла верна только в евклидовом пространстве, я думал, что вы сомневаетесь, верна ли она также и в искривленном пространстве, на мгновение я забыл о «псевдоевклидовых» пространствах.

Конечно, в псевдоевклидовой геометрии могут быть вещи, скажем, мнимые углы, так что весь шизнит на самом деле не очень хорошо определен. С другой стороны, мы говорим, что два вектора перпендикулярны/ортогональны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю во всех случаях (даже для эрмитова скалярного произведения на комплексном векторном пространстве). В частности, нулевой вектор ортогонален самому себе.

Моя главная мысль заключалась в том, что я, возможно, не очень ясно выразился, что вам не нужна формула угла .

Об уникальности элемента объема:

Прежде всего, проверим, что если$(M,g)$является$n$мерное псевдориманово пространство, то$dM=\sqrt{|\det g|}d^nx$является инвариантным!

Мы знаем из полилинейного исчисления, что мера интегрирования$d^nx$трансформируется при изменении координат$x^\mu\mapsto x^{\mu'}$как$d^nx=\left|\det\frac{\partial x}{\partial x'}\right|d^nx'$. Компоненты метрики изменяются по мере

$$g_{\mu\nu}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}\frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^\nu}g_{\mu'\nu'}.$$ Takint определитель обеих сторон дает $$\det g=\left(\det\frac{\partial x'}{\partial x}\right)^2\det g',$$ принимая абсолютные значения, а квадратный корень дает $$\sqrt{|\det g|}=\left|\det\frac{\partial x'}{\partial x}\right|\sqrt{|\det g'|} .$$ Отсюда мы видим, что в произведении $\sqrt{|\det g|}d^nx$два якобиана, возникающие при изменении координат, точно сокращаются.

Теперь о фактической уникальности. В квартире$n$размерное пространство-время, если$x^{\mu'}$— псевдодекартовы координаты, элемент объема равен$d^nx'$. Если мы перейдем от$x^{\mu'}$к$x^\mu$, у нас есть$d^nx'=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|d^nx$, а тут у нас$\sqrt{|\det g|}=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|\sqrt{|\det\eta|}=|\det\frac{\partial x'}{\partial x}|$, так что у нас есть$d^nx'=\sqrt{|\det g|}d^nx$и с тех пор$x$— произвольная система координат, она верна для всех. Итак, в плоском пространстве-времени это уникальная форма.

Очевидно, что в искривленном пространстве-времени мы могли бы определить различные «элементы объема», которые все сводятся к этому в плоском пространстве-времени. Один был бы$(1+R)\sqrt{|\det g|}d^nx$, где$R$скаляр кривизны, но вы можете взять$R$быть любым инвариантом кривизны. Однако мы хотим, чтобы объем был положительным, и существуют пространства-времена, для которых$R=-1$. В этом случае элемент объема был бы тождественно равен нулю. Мы этого явно не хотим.

Существует более сильное требование, чем требование, чтобы элемент объема приводился к обычной форме в плоском пространстве-времени. Как вы, наверное, знаете, в псевдоримановом пространстве можно установить так называемые «нормальные римановы координаты» относительно любой точки.$p$. Их еще называют «локально-плоскими координатами», так как в этих координатах при$p$,$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$и$\partial_\sigma g_{\mu\nu}(p)=0$. Мы можем потребовать, чтобы элемент объема сводился к элементу объема Минковского в локально плоской системе при$p$. В этом случае можно потребовать, чтобы элемент объема при$p$является$dM(p)=d^nx'$, где$x'$координаты являются локально плоскими координатами. Затем мы можем следовать той же процедуре, что и в плоском пространстве-времени, чтобы получить$p$, в произвольной системе координат$x$, элемент объема$dM(p)=\sqrt{|\det g(p)|}d^nx$, но с тех пор$p$произвольно, это выполняется на всем многообразии.

Можно привести более убедительный аргумент в терминах дифференциальных форм, но я не уверен, знакомы ли вы с этим.

Если считать вышеизложенное известным, то можно увидеть, что если нам дана 2-поверхность$\Sigma$в$n$-мерное псевдориманово многообразие$(M,g)$, и$h$является индуцированной метрикой на$\Sigma$, то пара$(\Sigma,h)$является псевдоримановым многообразием (если только$\Sigma$является нулевым подмногообразием, и в этом случае это «вырожденное» риманово многообразие), поэтому элемент объема (который в данном случае является элементом площади) определяется выражением$\sqrt{|\det h|}d^2\xi$, где$\xi^1 ,\xi^2$координаты поверхности. Если вы вычислите$\det h$, это выражение точно даст формулу, с которой вы начали. Мы вообще не использовали формулу угла.