Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

Это довольно распространенная проблема, и я чувствую, что обычно ее немного проясняют с помощью индексов.

Группа Лоренц это$SO(1,3)$, нет$SO(4)$, так как (используя$(-+++)$соглашение) элемент строки имеет дополнительный отрицательный знак:

$$\text{d}s^2 = -c^2\text{d}t^2 + \text{d}x^2 + \text{d}y^2 + \text{d}z^2$$

вот почему ускорение Лоренца отличается от чистого вращения в 4-мерном пространстве.

Такой импульс$\Lambda$берет

$$x^\mu \longrightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu_{\;\sigma} x^\sigma$$

Требование, чтобы элемент$\text{d}s^2$быть инвариантным, мы имеем, что

$$x^\mu x_\mu = x'^\alpha x'_\alpha$$ то есть

$$x^\mu x^\nu \eta_{\mu\nu} = \left(\Lambda^\alpha_{\;\mu} x^\mu\right) \, \left(\Lambda^\beta_{\;\nu} x^\nu\right) \,\eta_{\alpha\beta}$$

Или, другими словами,

$$\eta_{\mu\nu} = \Lambda^\alpha_{\;\mu}\Lambda^\beta_{\;\nu}\eta_{\alpha\beta}$$

С точки зрения умножения матриц это просто

$$\eta = \Lambda^\text{T} \, \eta \,\, \Lambda$$

что означает, как вы сами показали,$\Lambda^\text{T}\neq \Lambda^{-1}$, скорее

$$\Lambda^{-1} = \eta \, \Lambda^\text{T} \eta$$

Матрица, представляющая усиление Лоренца, ортогональна относительно метрики Минковского. $\eta = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$(или перевернутые знаки), что означает

$$\Lambda \eta \Lambda^T = \eta \text{ or } \Lambda^{-1} = \eta \Lambda^T\eta.$$

К предыдущим ответам можно добавить еще немного.

• Чтобы увидеть, что ваш$\Lambda_x$не является ортогональным, помните, что ортогональные матрицы сохраняют квадрат длины$\vec a\cdot \vec a$вектора$\vec a$. Используя ваш$\Lambda_x$и$\vec a=(1,0)$одна находка с$\vec a'=\Lambda_x \vec a$, что$\vec a'\cdot\vec a'=\cosh(2\gamma)\ne 1$, ясно показывая, что$\Lambda_x$НЕ ортогонален .
• Представление, которое у вас есть для$\Lambda_x$не только не ортогональна, но и не унитарна. Если$\Lambda_x$были унитарными, то$\Lambda_x^{-1}=\Lambda_x^\dagger=\Lambda_x^T$с$\Lambda_x$реально. Неунитарность$\Lambda_x$коренится в том факте, что группа Лоренца некомпактна и что не существует нетривиальных конечномерных представлений некомпактных групп, которые были бы унитарными.