Определение пространственно-временного интервала

Я написал ответ, имея в виду следующее выражение в качестве выражения для интервала:$\Delta t^2 - \dfrac{1}{c^2}(\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2)$. По моему опыту, это довольно распространенная форма интервала, чем та, что указана в ОП. Всякий раз, когда я пишу что-то вроде «форма, которую вы упомянули», это действительно имеет в виду указанное выше выражение.

Указанная величина является инвариантом Лоренца. Эта величина, рассчитанная для пары событий, остается неизменной при любом инерционномнаблюдатель измеряет его. Таким образом, было бы неплохо думать об этой величине как о свойстве самой пары событий, помимо ее измерения любым наблюдателем. Это существенная причина для определения этой величины как интервала - аналога евклидова расстояния в пространстве-времени Минковского. Но, как вы частично указали, любое биективное отображение указанной величины удовлетворяло бы всем вышеуказанным свойствам. Так почему бы не определить любой из них как интервал? Подводя итог в одном предложении: в выборе этого конкретного выражения мало физики, но это скорее вопрос условности. На самом деле в качестве интервала в равной степени принимаются и некоторые вариации этой величины. Наиболее известен минус этой величины (с точностью до множителя$c^2)$. Тем не менее, происхождение всех условностей не глупо, и есть хорошие объяснения для конкретных вопросов, которые вы задали:

(1) Он используется в квадратной форме, потому что величина может быть как положительной, так и отрицательной. Таким образом, извлечение квадратного корня потребовало бы ненужной работы с появлением повсюду мнимых величин. Другая причина заключается в том, что в тензорной формулировке специальной теории относительности, которая имеет решающее значение для ее расширения до общей теории относительности, эта форма находит очень элегантное и легко управляемое выражение. Взятие его корня снова внесет ненужные сложности в тензорное представление.

(2) Приведенное выражение полезно для нахождения собственного времени между двумя времениподобными событиями. Чтобы придать этой величине временное измерение, деление на$c^2$готово. Когда вы используете отрицательную формулу выше, она предназначена для определения пространственно-временного интервала между двумя пространственно-подобными событиями. В этом случае уместно придать ему пространственное измерение и, таким образом, действительно$c^2$умножается на$t^2$вместо разделения$x^2+y^2+z^2$к$c^2$. Вся эта каша выбрасывается в любой серьезной теоретической работе введением натуральных единиц, где$c=1$.

Почему$I$определяется в терминах компонентов в квадрате (без квадратного корня)? Если бы$I^2$тогда было бы понятнее.

Посмотрите на теорему Пифагора,

Как говорит Редьярд, вы можете рассмотреть$I$в квадрате как (модифицированная) четырехмерная версия приведенного выше трехмерного выражения.

Почему деление на$c^2$произойти в$I$? Что$c^2I$затем?

Относительность исходит из постулата об отсутствии абсолютной скорости течения времени, поэтому можно написать:

Именно так теория относительности рассматривает время, измеряемое движущимся наблюдателем, также известное как собственное время.$\tau$, аналогично времени = расстояние/скорость на Земле.

Если вы прочитаете Википедию «Правильное время» или «Гиперфизику» , вы получите более подробное объяснение и происхождение приведенных выше выражений.