Плоскость Пуанкаре и логистическая карта

Для динамических систем в целом вы обычно моделируете динамику на компьютере, например, численно интегрируете дифференциальные уравнения или итерируете карту, а затем можете анализировать свои данные. Инструменты, упомянутые в вопросе, в основном используются для визуализации решений:

• фазовый портрет обычно представляет собой график одной или нескольких траекторий в фазовом пространстве системы (которое является пространством ее состояний, т. е. пространством, где каждая точка обозначает отдельное состояние системы);
• график Пуанкаре представляет собой (для одномерных систем) график, например,$x_{n+1}$против$x_n$, т. е. для траектории$x_0, x_1, x_2, x_3, ...$график Пуанкаре будет двумерным с точками$(x_0,x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3), ...$;
• не путайте график Пуанкаре с одноименной картой Пуанкаре , отображающей траектории в меньшей размерности, чем у системы, посредством сечения ее фазового пространства (подробнее см. ответы 1 и 2 , Википедия , .. .). Что касается логистической карты, то она одномерная, поэтому у нее есть 0-D сечение/карта Пуанкаре, что не очень полезно для целей визуализации.

Как мы можем нарисовать плоскость Пуанкаре и фазовый портрет на логистической карте для разных значений параметров?

1. выбрать значение параметра$r$;
2. выбрать начальное условие для переменной состояния$x$: это$x_{n=0}$;
3. получать$x_0$траектория путем повторения$x_{n+1}=rx_n(1-x_n)$.

Теперь, имея в руках эту траекторию, вы можете получить графики (вручную или с помощью программного обеспечения), такие как график Пуанкаре для$r=4$отображается в записи Википедии логистической карты :

Для другого значения параметра вы получите другой график. Трехмерный график с осями$r$,$x_{n+1}$, и$x_n$также была бы возможность.

Логистический фазовый портрет — это просто отрезок линии,$x_n \in [0,1]$. Он может показать, какие его части более плотно заселены траекториями, а двумерный график$\{x_n\}$как функция параметра$r$называется бифуркационной диаграммой . Опять же из Википедии :

Также стоит упомянуть, по крайней мере, для одномерных карт, график паутины , который, по сути, является графическим представлением процесса итерации, который очень полезен для получения интуитивного представления о процессе. Примеры из Википедии используют именно логистическую карту: