Вычисление показателей Ляпунова из многомерного экспериментального временного ряда

В статье Вольфа «Определение показателей Ляпунова из временного ряда» говорится, что:

Экспериментальные данные обычно состоят из дискретных измерений одной наблюдаемой. Известная методика реконструкции фазового пространства с координатами запаздывания [2, 33, 34] позволяет получить из такого временного ряда аттрактор, ляпуновский спектр которого идентичен спектру исходного аттрактора.

В одной из цитируемых статей « Геометрия из временных рядов » уточняется:

Эвристическая идея метода реконструкции заключается в том, что для определения состояния трехмерной системы в любой момент времени должно быть достаточно измерения любых трех независимых величин [...]. Три обычно используемые величины являются значениями каждой координаты в пространстве состояний, Икс ( т ) , у ( т ) , и г ( т ) . Мы обнаружили, что [...] можно получить множество трех независимых величин, которые, по-видимому, дают точное представление в фазовом пространстве динамики исходного Икс , у , г космос. Одним из возможных наборов из трех таких величин является значение координаты с ее значениями в два предыдущих момента времени, например Икс ( т ) , Икс ( т − т ) , и Икс ( т − 2 т ) .

Наконец, в статье Розенштейна «Практический метод вычисления наибольших показателей Ляпунова из небольших наборов данных» говорится, что:

Первый шаг нашего подхода заключается в восстановлении динамики аттрактора из одного временного ряда. Мы используем метод задержек [27, 37], поскольку одной из целей нашей работы является разработка быстрого и легко реализуемого алгоритма. Восстановленная траектория X может быть выражена в виде матрицы, где каждая строка представляет собой вектор фазового пространства. То есть,

Икс "=" [ Икс 1 Икс 2 . . . Икс М ] Т
где Икс я состояние системы в дискретное время я .

Все три статьи, кажется, неявно предполагают, что исследуемая система имеет многомерное фазовое пространство, но только одно измерение может быть измерено экспериментально, и, следовательно, данные полного фазового пространства должны быть восстановлены из одномерного временного ряда.

Однако что, если временной ряд многомерен, то есть имеет ту же размерность, что и фазовое пространство? Например, рассмотрим проблему экспериментального доказательства того, что простой маятник не является хаотичным. Фазовое пространство 4-мерное ( р , р ˙ , ф , ф ˙ ) и легко спланировать эксперимент, который генерирует 4-мерный временной ряд значений этих переменных на каждом временном шаге.

Можно ли в этом случае пропустить реконструкцию и использовать Икс "=" [ р р ˙ ф ф ˙ ] Т вместо реконструированной траектории в статье Розенштейна без дополнительных модификаций? Есть ли более простой способ вычисления показателей Ляпунова, когда известно полное состояние системы в фазовом пространстве?

Ответы (1)

Однако что, если временной ряд многомерен, то есть имеет ту же размерность, что и фазовое пространство?

Откуда вы знаете, что ваш временной ряд имеет ту же размерность, что и фазовое пространство? Обычно потому, что вы уже знаете динамические уравнения для вашей системы (как и для вашего маятника). Однако, если вы наблюдаете реальную сложную систему, вы можете получить многомерный временной ряд, но нет никакого способа сказать, соответствует ли его размерность фактическому размеру фазового пространства, поскольку вы не можете знать последнее. Поэтому я рассматриваю два случая отдельно:

  1. Вы знаете динамические уравнения для вашей системы. Будьте очень осторожны, чтобы предположить это, если ваша система не моделируется.
  2. Вы получили многомерный временной ряд из неизвестной системы.

1. Вы можете смоделировать систему

Грубо говоря, вы определяете наибольший показатель Ляпунова (а также и другие), глядя на то, как быстро расходятся две траектории после прохождения двух точек, близких в фазовом пространстве. Если у вас есть только восстановленное фазовое пространство вашей системы из временного ряда, единственный способ получить две такие близкие траектории — это искать две точки, которые близки друг к другу в вашем восстановленном фазовом пространстве. Однако, если вы можете смоделировать свою систему, вы можете создать такие точки для себя, просто применив небольшое возмущение к состоянию вашей моделируемой системы. Помимо этого, метод в основном такой же (и описан, например, в разделе 3 статьи Вольфа и др.).

Кроме того, есть некоторые случаи, когда вы можете определить показатели Ляпунова аналитически.

2. У вас есть многомерный временной ряд

Оценка показателей Ляпунова по временному ряду происходит примерно в два этапа:

  1. Восстановление фазового пространства по временному ряду.
  2. Оценка показателя Ляпунова по этому восстановленному фазовому пространству.

Шаг 2 не заботится о том, как вы реконструировали фазовое пространство — при условии, что вы делаете это правильно и аттрактор максимально развернут. И на шаге 1 наличие более одного наблюдаемого из вашей системы обычно является огромным преимуществом. Простым подходом было бы начать с вашего многомерного временного ряда и добавить отложенные вложения (как описано, например, в вашей цитате из Packard et al.) ваших компонентных временных рядов, пока вы не будете уверены, что развернули аттрактор. Однако имейте в виду, что некоторые из ваших наблюдаемых могут быть не независимыми или, по крайней мере, сильно коррелированными. Немного удивительно, что для этого есть более изощренные методы (для начала быстрый поиск дал вот эту статью ).

Спасибо за Ваш ответ! Я предполагаю случай 2, что есть только временной ряд. Что определяет размерность фазового пространства — не удвоенное ли количество степеней свободы системы (4 в моем примере с маятником)? Кроме того, как выполняется реконструкция? В этой статье говорится, что вы можете применить метод задержек к каждой переменной во временном ряду независимо, а затем объединить все полученные векторы, чтобы получить вектор полного фазового пространства на каждом временном шаге. Это правильный способ сделать реконструкцию?
1) Теоремы вложения Уитни дают вам верхнюю оценку размерности вложения фазового пространства (см., например, здесь ). Это не всегда удвоенное число степеней свободы. 2) Описанный вами метод реконструкции, безусловно, работает, но, вероятно, приведет к излишне высокому размеру встраивания. Обратите внимание, что реконструкция фазового пространства — это отдельная наука, и нет единственно правильного способа сделать это. Вам, скорее всего, следует сначала прочитать о реконструкции фазового пространства по одномерным временным рядам (например, в книге Канца и Шрайбера).
Вычисление показателей Ляпунова из многомерного экспериментального временного ряда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v