Карты Пуанкаре и интерпретация

Основная идея карты Пуанкаре состоит в том, чтобы свести к минимуму то, как вы представляете динамическую систему. Для этого система должна обладать определенными свойствами, а именно возвращаться время от времени в некоторую область в пространстве своих состояний. Это выполняется, если динамика периодическая, но работает и с хаотической динамикой.

Чтобы привести простой пример, вместо того, чтобы анализировать всю траекторию планеты, вы будете смотреть на ее положение только один раз в год, точнее, всякий раз, когда она пересекает (с заданным направлением) плоскость

• перпендикулярно плоскости, в которой лежат траектории планет,
• который содержит центральное небесное тело, вокруг которого вращается планета.

Эта плоскость является сечением Пуанкаре для орбиты этой планеты, так как она трансверсальна потоку системы (идущему по траекториям планеты).

Теперь, если орбита планеты точно периодическая с периодом, соответствующим одному году, наша годовая запись всегда будет давать один и тот же результат. Другими словами, наша планета каждый год пересекала бы сечение Пуанкаре в одной и той же точке. Если же орбита планеты более сложная, например, перигелийная прецессия Меркурия , то точка пересечения с сечением Пуанкаре каждый год будет немного меняться. Затем вы можете рассмотреть карту Пуанкаре, которая описывает, как точка пересечения для одного года зависит от точки пересечения для предыдущего года.

Хотя в этом примере я рассматривал только геометрическое положение, вы также можете посмотреть на другие наблюдаемые и, вероятно, потребуется, если вы не можете полностью вывести положение в фазовом пространстве из геометрического положения. В нашем примере вам также потребуется записать импульс планеты (или какой-то другой наблюдаемой).

Теперь, какова цель этого? Если орбита нашей планеты лишь немного отклоняется от идеальной периодичности, то то, что происходит в течение одного года, просто движется по кругу и, таким образом, «довольно скучно» и затемняет интересные вещи, которые происходят в больших временных масштабах. Последнее можно наблюдать на нашей карте Пуанкаре, которая показывает нам, как немного меняется орбита каждый год. Поэтому может быть проще или нагляднее просто проанализировать карту Пуанкаре, а не всю траекторию. Это еще более заметно для бильярда: между двумя столкновениями с границей динамика просто$\dot{x}=v$.

В частности, некоторые свойства вашей базовой динамики переводятся в карту Пуанкаре, например: если динамика хаотична, то и ваша карта Пуанкаре хаотична. Если в примере с нашей планетой динамика будет периодической с периодом в четыре года, ваша карта Пуанкаре будет чередоваться между четырьмя точками. Если ваша динамика квазипериодическая с двумя несоизмеримыми частотами (например, если одна наблюдаемая$\sin(x)+\sin(\pi x)$), пересечения с вашим сечением Пуанкаре будут лежать на замкнутой кривой. Например, большинство прямолинейных траекторий на поверхности тора соответствуют динамике с несоизмеримыми частотами и в конце концов подходят к любой точке тора сколь угодно близко, т. е. заполняют поверхность тора. Таким образом, пересечение траектории с сечением Пуанкаре, перпендикулярным поверхности тора во всех точках, даст границу круга (а неперпендикулярные сечения Пуанкаре дадут нечто близкое к эллипсу). В общем случае размерность пересечений с сечением Пуанкаре равна размерности аттрактора минус единица.

Кроме того, если вы хотите смоделировать наблюдаемую систему в смысле поиска уравнений, которые до некоторой степени воспроизводят ее динамику, вы можете начать с моделирования карты Пуанкаре (т. е. найти для нее явную формулу).