Непредсказуемость согласно определениям хаотического поведения

По-видимому, я был сбит с толку значением (я) «хаотического поведения». Я всегда думал, что это означает, что бесконечно малые возмущения системного параметра приведут к большим изменениям в поведении системы, и, таким образом, поведение системы фактически непредсказуемо, даже если оно может быть детерминированным.

Однако в последнее время у меня сложилось впечатление, что иногда «хаотичное поведение» имеет второе определение, в котором оно означает просто «апериодическое поведение». Это из статьи « Сложность в линейных системах...» . Возможно, существуют дополнительные определения «хаотического поведения». Но: будет ли детерминированное апериодическое поведение фактически непредсказуемым в том же смысле, что и непредсказуемость согласно первому определению?

В этом вопросе есть много запутанных аспектов: 1) Чувствительность к малым возмущениям связана с возмущениями начального состояния, а не параметров. 2) Хаос — это не только чувствительность к небольшим возмущениям. В противном случае у ˙ "=" у было бы хаотично. 3) Что именно вы подразумеваете под апериодическим? Включает ли он квазипериодическую, взрывную динамику или динамику с фиксированной точкой? В той статье, которую вы цитируете, этого слова нет.
Есть ли важная разница между возмущениями начальных условий и возмущениями системных переменных в произвольный момент времени? Я всегда думал о «начальных условиях» как о всех состояниях системы в начальной точке эксперимента или расчета. Под апериодическим я подразумеваю определение Мириам-Вебстер: 1) нерегулярное появление: не периодическое; 2) не имеющие периодических колебаний: не колебательные. То есть апериодическое поведение не может быть точно описано как O(t) = O(t+n delta t).
Итак, система с двумя периодическими компонентами A и B, периоды которых равны ka и kb , где ka и kb находятся в отношении ka/kb = R , где R иррационально, была бы, я думаю, апериодической, потому что не было бы дельты t, которая делает O(t) = O(t+n delta t) . ( O(t) — состояние системы в момент времени t ).
@ S.McGrew, ваш пример звучит так, как будто он действительно может быть апериодическим, но тогда он не хаотичный, а скорее квазипериодический .
@ S.McGrew, различие между параметрами и переменными состояния обычно очень важно: переменные состояния обычно развиваются в зависимости, скажем, от времени и предыдущих значений переменных состояния; в то время как параметры почти всегда постоянны, а когда нет, они изменяются независимо от переменных состояния. Кроме того, в некотором смысле, когда вы меняете параметр, вы меняете изучаемую систему.

Ответы (1)

Но: будет ли детерминированное апериодическое поведение фактически непредсказуемым в том же смысле, что и непредсказуемость согласно первому определению?

Не обязательно. По вашему определению это включает квазипериодическое поведение, то есть суперпозицию двух (или более) периодических режимов с несоизмеримыми частотами. Такая динамика характеризуется двумя (или более) нулевыми показателями Ляпунова и отсутствием положительных. Поскольку положительный показатель Ляпунова прямо указывает на чувствительность к начальным условиям, у нас нет этой проблемы и вытекающих из этого проблем непредсказуемости. Все, что вам нужно знать для предсказания, — это фазы каждого из лежащих в основе колебаний, и крошечные ошибки в их измерении имеют столь же большое влияние на ошибку вашего предсказания.

В качестве очень практического примера, положение Луны по отношению к Солнцу и Земле является квазипериодическим в исторических масштабах времени (с несоизмеримыми частотами, являющимися синодическим периодом, узловой и апсидальной прецессией). Тем не менее, затмения довольно хорошо предсказуемы на столетия вперед.

Этот ответ полезен!
Однако: мы можем предсказывать погоду, хаотическое поведение которой определяется нелинейными УЧП; просто точность наших прогнозов разваливается через несколько дней или недель (а не через несколько столетий, как в случае с затмениями). Временная шкала точной предсказуемости с учетом конечного набора измерений не кажется хорошим способом отличить хаотичное поведение от нехаотического. Кажется, что никакое конечное измерение системы черного ящика не может действительно определить, является ли система хаотичной или нет.
Обратите внимание, что пример с луной служит только для иллюстрации, а не для доказательства. Все реальные системы неизбежно сопряжены с хаотическими, вопрос только в том, на каком времени и какой амплитуде становится виден хаос. Кроме того, при достаточно высоких требованиях к доказательству вы, конечно, не можете показать, что любая реальная система хаотична. Но опять же, это относится к экспериментальным доказательствам чего бы то ни было.
Я задам новый вопрос, чтобы ответить на вопросы, которые вызвали ваши комментарии в этом конце, после того, как я добьюсь некоторого прогресса в понимании ляпуновских толкователей.
Непредсказуемость согласно определениям хаотического поведения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v