Плотность лагранжиана Дирака в искривленном пространстве-времени

Я пытаюсь вывести эту форму плотности лагранжиана Дирака в искривленном пространстве-времени:

$$\mathcal{L}~=~\det\left(e\right)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\partial_{a}-m+\gamma^{a}\gamma^{5}B_{a}\Bigg)\Psi$$

начиная с этой формы:

$$\mathcal{L}~=~\sqrt{-g}\Bigg (\frac{i}{2} \bar{\Psi} \gamma^{a} \stackrel{\leftrightarrow}{D}_{a} \Psi-\bar{\Psi}m\Psi \Bigg)$$

Я могу получить первый срок, однако в последнем сроке я получаю коэффициент$\quad - \frac{1}{2} \quad$спереди, т.

$$\mathcal{L}~=~\det(e)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_{a}}-m-\frac{1}{2}B_{a}\gamma^{a}\gamma^{5}\Bigg)\Psi$$ Я пробовал вывести его несколькими разными способами и всегда получаю приведенное выше выражение. Проблема в том, что во всех статьях, которые я читал по этому вопросу, это дается в том виде, в каком оно представлено вверху этой страницы. Если поможет, вот ссылка на мой вывод полностью: http://we.tl/mUgiw0BkMh

Был бы очень признателен за любую помощь в решении этой проблемы.