Изменение действия Дирака дифференциальными формами

Действие Дирака в искривленном пространстве-времени можно записать в терминах Вирбейна.$\{ e^a \}$и спиновое соединение$\{ \omega^{ab} \}$дифференциальные формы. Пусть спинорное поле$\psi$интерпретировать как спинорнозначную$0$- формировать и определять$1$-форма$\gamma = \gamma_a e^a$, где$\{ \gamma_a \}$являются гамма-матрицами. Спинорная ковариантная производная определяется выражением

$$D\psi = \mathrm{d} \psi + \frac{1}{4} \omega^{ab}[\gamma_a,\gamma_b] \psi$$

Стандартное действие Дирака имеет вид

$$I = -i\int_M \bar{\psi} \gamma \wedge * D\psi$$

где$*$является двойственным оператором Ходжа. Теперь я хотел бы изменить это действие по отношению к veilbein. В приложении к этой книге уравнение (A.115) утверждает, что вариация действия по отношению к veilbein определяется выражением

$$\delta I = \int_M i \bar{\psi} \gamma_a * D \psi \wedge \delta e^a$$

но я не могу этого показать. вот моя попытка

$$\delta I = -i \int_M \bar{\psi} \delta \gamma \wedge * D \psi + \bar{\psi} \gamma \wedge \delta (* D \psi) \\= -i \int_M \bar{\psi} \gamma_a \delta e^a \wedge * D \psi + \bar{\psi} \gamma\wedge \delta(* D \psi)$$

где я принял гамма-матрицы$\{ \gamma_a \}$, несмотря на наличие индекса Вейльбейна, не подвержены влиянию вариации, следовательно,$\delta \gamma = \delta (\gamma_a e^a) = \gamma_a \delta e^a$. Первый член я могу преобразовать в

$$i \int_M \bar{\psi} \gamma_a * D \psi \wedge \delta e^a$$

где я только что изменил порядок произведения клина, получив знак минус. Это дает мне вариацию, о которой говорит автор, но мне еще предстоит разобраться со второй частью. Это содержит термин$\delta (* D\psi)$. Я знаю, что двойственность по Ходже должна зависеть от veilbein, потому что автор использовал этот факт в уравнении (A.107), так что эта вариация, вообще говоря, не исчезнет. Я не уверен, как это оценить. В идеале я бы хотел, чтобы он исчез.

Любая помощь будет принята с благодарностью.