Плотность состояний и эллиптический интеграл

Я тоже застрял с такой проблемой. Поскольку это старый вопрос, но я не нашел на него полного ответа, я запишу свою попытку. Это не полное решение; тем не менее, я думаю, что это почти дает ответ.

Плотность состояний$\rho (E)$это мнимая часть собственной энергии$\Sigma (\mathbf r , \mathbf r, E+i\epsilon)$, где$\epsilon \to 0^{+}$:

$$\rho (E) = -\frac{1}{\pi}\text{Im}\left(\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\Sigma (\mathbf r , \mathbf r , E + i\epsilon) \right)$$ Как мы можем определить $\Sigma (\mathbf r , \mathbf r , E + i\epsilon)$?

По определению оператор Грина есть

$$\hat{G} (T) = \frac{1}{T\hat{I} - \hat{H}} \equiv \sum_{\mathbf k}\frac{|\mathbf k \rangle \langle \mathbf k|}{T - E(\mathbf k)}, \quad T \equiv E + i\epsilon$$ Затем функция Green, которая соединяет сайт $l$решетки с самой собой (что и есть собственная энергия) есть $$\tag 1 \Sigma (T, l, l) = \sum_{\mathbf k}\frac{\langle \mathbf{l}|\mathbf k \rangle \langle \mathbf k| \mathbf{l}\rangle}{T - E(\mathbf k)}$$ Давайте поговорим о графене в приближении ближайших соседей. Его решетка шестиугольная (сотовая), которую можно представить двумя взаимопроникающими треугольными решетками с силой взаимодействия, определяемой выражением $t$. Только ближайшие города (скажем, $A$и $B$) этих решеток взаимодействуют, поэтому $\hat{H}$живет в пространстве, которое является прямым произведением пространств двух треугольных решеток. Теперь это приводит к тому, что гамильтониан можно представить в виде суммы двумерных матриц. Таким образом, для данного цитируемого знаменателя $(1)$является $$\tag 2 \begin{pmatrix} T & -\mu t \\ -\mu^{*}t & T\end{pmatrix}$$ Здесь $\mu$определяет характер решетки, будучи $$\mu = e^{ik_{x}a} + e^{i\left(\frac{\sqrt{3}k_{y}a}{2} - \frac{k_{x}a}{2} \right)} + e^{-i\left(\frac{\sqrt{3}k_{y}a}{2} + \frac{k_{x}a}{2} \right)}$$ Замена $(2)$в $(1)$, вы можете конвертировать $(1)$к форме $$\tag 3 \rho (E) = -\frac{1}{\pi}\text{Im}\left[ \lim_{\epsilon \to 0^{+}}\int \limits_{\text{1st Br. zone}}\frac{d^{2}\mathbf k}{(2 \pi)^{2}}\frac{T}{T^{2} - t^{2}|\mu|^{2}}\right] = -\frac{E}{8t^{2}\pi}\text{Im} \left[\lim_{\epsilon \to 0^{+}}\tilde{G}\left(\frac{T}{t}\right)\right],$$ где $$\tilde{G}\left(\frac{T}{t}\right) \equiv \frac{1}{\pi^2}\int \limits_{-\pi}^{\pi}\frac{dxdy}{ \frac{\frac{T^{2}}{t^{2}} - 3}{2} - \cos(2y) - 2\cos (y)cos(3x)}$$ Такая величина может быть вычислена (вывода этого результата нет) для $\frac{\frac{T^{2}}{t^{2}} - 3}{2} > 3$, и $$\tag 4 \tilde{G}\left(\frac{T}{t}\right) = \frac{T}{t\pi}\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{T}{t} - 1\right)^3\left(\frac{T}{t} + 3\right)}}K\left( \frac{4\sqrt{\frac{T}{t}}}{\sqrt{\left(\frac{T}{t} - 1\right)^3\left(\frac{T}{t} + 3\right)}}\right),$$ где $K(x)$является эллиптическим интегралом первого рода: $$K(x) = \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dy}{\sqrt{1 - x^{2}\sin^{2}(y)}}$$ Единственное, что вам нужно сделать, это вычислить аналитическое продолжение $(4)$а затем вычислить его мнимую часть, умноженную на четыре (что соответствует вырождению спинов и двух узлов).

Правка

Вот полный вывод плотности состояний в графене.