Как понять множественные полосы, полученные для кристаллов с несколькими атомами на элементарную ячейку, таких как графен?

Графен имеет сотовую решетку, которую можно описать как треугольную решетку, но с двумя атомами на элементарную ячейку. Поэтому при решении для зонной структуры графена мы расширяем волновую функцию следующим образом: (полное описание в конспектах лекций )

ψ к ( р ) "=" а к ψ к А ( р ) + б к ψ к Б ( р ) ( 1 )

где ψ к А и ψ к Б являются блоховскими волновыми функциями. Расширение ψ к А и ψ к Б на основе одной из атомных орбиталей (скажем п г орбиталей, ведущих к конусам Дирака), мы, наконец, можем написать уравнение Шредингера, используя 2 × 2 Гамильтониан (из-за формы волновой функции и двух а и б коэффициенты в ( 1 ) , что обусловлено наличием двух атомов в элементарной ячейке ). Нахождение собственных значений этого 2 × 2 Гамильтониана, мы приходим к двум π энергетические диапазоны:

введите описание изображения здесь

Мы можем даже записать приведенную выше волновую функцию в виде спинора (см. конспект лекций , уравнение ( 2,29 ) :

Ψ к "=" ( а к б к )
и, следовательно, определить псевдоспин.

Хотя математика кажется довольно ясной, я не знаю, как думать о двух результирующих полосах, поскольку они получены для двух электронов вместо одного.

Являются ли две получившиеся полосы действительно двумя разными полосами, точно так же, как две разные полосы простого кристалла с одним атомом на решетку, такого как кремний? Если нет, то каковы различия?
Например, когда две разные полосы соприкасаются в каком-то к для кремния мы имеем 2-кратное вырождение. То же самое здесь, на конусе Дирака, где два π полосы касаются?

я думаю, что два π полосы можно рассматривать как потомков связывания и антисвязывания π орбиталей (см., например, isite.lps.org/sputnam/LHS_IB/IBChemistry/UNIT4ChemBonding/… ). Или, другими словами, вы можете представить, что элементарная ячейка с двумя атомами углерода и двумя электронами представляет собой один составной «атом» с двумя составными «орбиталями», представляющими собой симметричную и антисимметричную суперпозиции π орбитали на двух атомах углерода (и имеют разные энергии!). Объединение этих составных «атомов» приводит к образованию двух энергетических зон из этих составных «орбиталей».
@AlexeySokolik Кажется правдоподобной подсказкой, так как обозначения для групп π и π * слишком. Спасибо.

Ответы (1)

Две полосы не означают два электрона. По сути, мы решаем зонную структуру для одного электрона . Отдельные электронные состояния представляют собой дискретные точки на поверхности вашего графика с интервалом 2 π л где л размер вашей системы. Ключевое предположение, которое мы здесь сделали, таково:

Взаимодействие между электронами слабое и им можно пренебречь.

Следовательно, мы можем заполнять эти состояния электронами из более низких энергий в более высокие.

Чтобы найти уровень Ферми Е Ф , мы можем подсчитать количество состояний (ниже уровня Ферми все одноэлектронные состояния заполнены). Предположим, что ваш графен имеет Н ячеек, и каждая ячейка содержит 2 атома и вносит 2 электрона. Всего есть 2 Н электроны. Мы знаем количество k точек в 1 Зона Сен-Бриллюэна равна Н (см. учебник по физике твердого тела, такой как Kittel). Следовательно, число состояний в нижней полосе равно 2 Н (два получается из двух спинов), что и есть число электронов.

Многочастичная картина графена — это ваш график со всеми состояниями в нижней полосе, заполненными (уровень Ферми Е Ф "=" 0 ).

Мы говорили, что графен имеет две полосы, соприкасающиеся и образующие конусы Дирака. Здесь есть неясность, так как две полосы обычно означают ненулевую щель между двумя энергетическими спектрами. В графене в двух точках Дирака щель закрыта. Поскольку они соприкасаются только в двух точках и на самом деле не перекрываются, мы по-прежнему называем их двумя полосами . Это просто проблема терминологии и не влияет на его физику.

В случае упомянутого вами кремния разные полосы могут пересекаться с другими и иметь двукратное вырождение. Такого рода вырождение можно снять малым возмущением. Однако конусы Дирака в графене устойчивы в том смысле, что никакое небольшое возмущение не может открыть щель. Это связано с графеном. С 3 вращательная симметрия и инверсионная симметрия. Подробный аргумент можно найти в топологических изоляторах и топологических сверхпроводниках Берневига, глава 7.

Спасибо за ответ. Еще одна путаница: что такое вырождение энергии Е "=" 0 в данном случае для графена? Является ли он двукратно вырожденным (как указано в моих заметках ) или четырехкратно, так как у нас есть два различных конуса, каждый из которых двукратно вырожден в точке Е "=" 0 (потому что π и π * коснуться Е "=" 0 )?
В одной точке K имеет место 4-кратное вырождение за счет псевдоспинов и спинов. Можно записать низкоэнергетический эффективный гамильтониан для графеноподобной системы. Это матрица 8x8, помеченная спином, точками К , К ′ , и подрешетка А , Б . В этом случае у них есть 8 нулевых энергетических состояний (если не нарушать симметрию графена), так как он включает в себя два К точки.
Как понять множественные полосы, полученные для кристаллов с несколькими атомами на элементарную ячейку, таких как графен?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v