Модель плотного связывания в графене

Я следую расчету, сделанному парнем, который сделал это немного иначе, чем я сделал раньше (использовал векторы ближайших соседей и ДПФ вместо того, что я покажу ниже), я не совсем уверен, как инвертировать это выражение, которое он дает.

Мы пытаемся сформулировать картину сильной связи для графена, используя соглашение р "=" л а 1 + Дж а 2 для положения элементарной ячейки и числа с "=" 1 , 2 для внутриклеточного атома. Состояние 1 находится в позиции р . Местный потенциал есть ϵ 0 а прыжковый потенциал т 0 по-прежнему.

Гамильтониан этой картины записывается в базисе локализованных орбиталей | р , с ⟩ .

ЧАС ^ "=" ∑ р ( ∑ с "=" 1 , 2 | р , с ⟩ ϵ 0 ⟨ р , с | ) + | р , 1 ⟩ т 0 ( ⟨ р , 2 | + ⟨ р − а 1 , 2 | + ⟨ р − а 2 , 2 | ) + | р , 2 ⟩ т 0 ( ⟨ р , 1 | + ⟨ р + а 1 , 1 | + ⟨ р + а 2 , 1 | )

Чтобы сделать это немного яснее, не рисуя диаграммы, верхняя линия, очевидно, относится к локальному потенциалу, а вторая и третья - к прыжку ближайшего соседа (т.е. электрон на атоме 1 перескакивает на атом 2 либо в той же элементарной ячейке, либо в другой). в р − а 1 или р − а 2 ).

Вот где это начинает становиться туманным для меня, следующий шаг заключается в том, что с использованием теоремы Блоха собственные векторы для гамильтониана задаются следующим образом:

| к , α ⟩ "=" 1 Н С ∑ р ∑ с "=" 1 2 е я к ⋅ р А с | р , с ⟩

где А с коэффициенты, Н С нормирующий коэффициент. Когда я использовал метод TBM для графена в прошлом, я использовал дискретное преобразование Фурье, чтобы получить выражение для состояния в импульсном пространстве, инвертировал его и поместил обратно в исходный гамильтониан, получив выражение для гамильтониана в k- космос. Я предполагаю, что в этом случае это аналогичная техника, и мой главный вопрос будет заключаться в том, как инвертировать приведенное выше выражение, если это так? Сумма s сбивает меня с толку, когда я пытаюсь это сделать!

Кроме того

1) Как именно мы приходим к этому, используя теорему Блоха? Я знаю, что в TBM мы ищем собственные функции, которые представляют собой линейную комбинацию орбиталей, и что выражение действительно похоже на это. Находится ли приведенное выше выражение в обратном пространстве?

2) α позже используется для обозначения положительных или отрицательных (проводимости или валентности) зон, включено ли оно здесь для удобства и преемственности к более позднему, или есть способ сделать вывод об этом из гамильтониана или элементарной ячейки уже? В данный момент он ничего не делает в выражении, но используется ли он как-то, когда мы его инвертируем (может быть, как эквивалент k-пространства s=1 или 2)?

3) Я предполагаю, что результатом применения этого уравнения к гамильтониану является то, что вы получаете матрицу 2x2 гамильтониана в k-пространстве, диагонализируете ее и находите собственные значения энергии?

Был бы очень признателен за помощь в этом, я весь день искал в Интернете что-то, но все делают это по-разному, пропускают вещи и используют разные обозначения!

Я думаю, что, возможно, это должно получить тег домашнего задания --- просто потому, что необходимые знания для понимания ОП настолько минимальны, что трудно оправдать длинный ответ.
Вам нужно иметь в виду, что есть 2 атома на точку решетки --- где сумма по с происходит от. Применение теоремы Блоха на самом деле является просто преобразованием Фурье под другим названием. Вы уже рассмотрели пункты 2 и 3.
@genneth: критерием для тега домашнего задания является то, что предполагаемая ценность вопроса - это не само решение, а демонстрация используемого метода. Я не думаю, что это применимо здесь. user8469, это домашнее задание или упражнение для самостоятельной работы? (Кроме того, хотите ли вы, чтобы я объединил ваши две учетные записи?)
Эй, спасибо за ответ, я знаю, откуда берется s, но моя проблема заключается в том, чтобы понять, как инвертировать выражение, как он это сделал. Я выполнял расчет TBM раньше, и когда я инвертировал преобразование, никогда не было этой суммы по s, так как я с самого начала проигнорировал элементарную ячейку и просто сделал NN для атома и cc. Моя единственная проблема с этим заключается в том, как обрабатывать суммировать по s при инвертировании преобразования и как обрабатывать альфу.
Привет, Дэвид, это упражнение для самостоятельного изучения, но его можно рассматривать как «домашнее задание», поскольку мой вопрос больше касается методологии, используемой при инвертировании выражения для собственных векторов | k, a>, если это имеет смысл?
Ну... вроде. Дело в том, что на самом деле упражнение, которое вы выполняете, связано с чем-то другим, а инверсия — это просто математический инструмент, а не основная цель упражнения, так что это наводит меня на мысль, что, возможно, тег «домашнее задание» здесь действительно не нужен. Но в любом случае это не имеет большого значения — мы не так уж по-разному относимся к домашним заданиям .

Ответы (1)

1) Теорема Блоха исходит из того, что группа переносов является абелевой, поэтому ее представления определяются числом, которое называется к . Это означает, что при переводе (скажем, по вектору а ) волновая функция с заданным к это умножается на показатель степени е я к а (более или менее по определению), что дает именно такую ​​форму волновой функции.

2) α перечисляет решения гамильтониана. Различные решения имеют разный набор коэффициентов жесткой связи. А с .

3) Да. Вы должны поместить волновую функцию в этой форме в гамильтониан реального пространства и получить матрицу 2x2, параметризованную как к который дает вам энергии и коэффициенты А с если вы решите эту собственную проблему.

Я рекомендую вам прочитать какую-нибудь книгу с главой о жесткой привязке (например, "Основы полупроводников" Ю Кардона).

Модель плотного связывания в графене
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v