Почему часы измеряют длину дуги?

Я думаю, что это очевидно из рисунка:

(Мой вторичный аргумент заключается в том, что интеграл является независимой от параметризации геометрической мерой, сводящей к минимуму функционал энергии и, таким образом, являющейся естественным обобщением перевода времени в плоском случае . Вы часто сталкиваетесь с этими экспоненциальными картами в динамике, здесь они представлены геодезическим потоком . Локально вы можете сгладить метрику, чтобы получить$g(x)=\eta+O(x^2)$и попытаться найти предел все более и более мелких патчей. Но на самом деле это эквивалентно решению геодезического уравнения, которое следует рассматривать как задающее пространственно-временное направление движущегося объекта, проталкиваемого сквозь пространство-время. Это также эквивалентно минимизации кривой между точками, как мотивировано выше.)

[Это теперь длинный ответ. Таким образом, обычно вам нужно физическое допущение, постулат о часах , который люди склонны опускать, но который необходим и не может быть аргументирован априорно . Однако иногда достаточно специальной теории относительности плюс ограниченной версии постулата. Мирского опыта достаточно, чтобы проверить эту ограниченную версию.]

Позволять$\lambda = t$время по инерциальной$O$, и разреши$\vec{x}'$быть пространственным положением$O'$согласно с$O$, пока$t'$это время, измеряемое$O'$. Если$O'$кусочно-инерционна, то вдоль каждого куска

• Движение$O'$гладкий . _ [А1]

• Для каждого$\epsilon>0$, Eсть$\delta>0$такое, что если с точки зрения некоего неускоренного наблюдателя$A$, величина скорости другого наблюдателя$B$никогда не превышает$c\delta$между временем$t_0$а также$t_1$, затем промежуток времени$\Delta t_B$на$B$часы удовлетворяют$(t_1-t_0)(1-\epsilon) < \Delta t_B < (t_1-t_0)(1+\epsilon)$. [А2]

Выбирать$\epsilon>0$, используйте [A2], чтобы получить$\delta$; используйте [A1], чтобы прервать движение$O'$на интервалы, достаточно малые, чтобы в системе отсчета внутреннего наблюдателя, путешествующего между конечными точками куска, скорость$O'$никогда не превышает$c\delta$; используйте [A2], чтобы сделать$[2]$правда внутри$\epsilon$. Так как это работает для всех$\epsilon>0$, [2] просто верно.

Теперь [A1] может показаться подозрительным, так как мы использовали кусочно-инерциальный наблюдатель, движение которого явно не является гладким! Так что мы даже не можем ничего предположить о том, что этот кусочно-инерционный наблюдатель испытывает на углах! Но это нормально, [A2] относится только к отдельным частям, а не ко всему. Используйте семейство (настоящих) инерциальных наблюдателей, которые встречаются в соответствующих точках.

Что касается [A2], он немного непрозрачен, но он говорит о том, что если вы не двигаетесь слишком быстро относительно инерциального наблюдателя, ваше восприятие времени почти такое же. Это не следует логически из чего-то конкретного, это просто физическое предположение. Но заметьте, что многим людям так трудно принять специальную теорию относительности именно потому, что [A2] является фактом жизни, для достаточно малых$\epsilon$. Чтобы сделать это правдой для еще меньшего$\epsilon$требует большего, чем повседневный опыт, но это все еще «здравый смысл» и, по-видимому, его можно проверить на довольно небольших значениях.

Теперь, чтобы поверить в это буквально за сколь угодно малые$\epsilon$требует большого скачка, но не воспринимайте дифференциальные уравнения буквально.

(Добавлено:) Ага! Я нашел постулат часов для ускоренных наблюдателей и считаю, что [A2] взаимозаменяем с ним. И да, это часто опускается, но не может быть получено из других предположений. Это было проверено.

(Второе дополнение): Несмотря на то, что они взаимовыводимы, моя лучше :-) Я дал точность [2] непосредственно с точки зрения точности [A2]. Например, нам не нужен постулат полных часов для парадокса близнецов (который вы упоминаете в качестве мотивирующего примера в комментарии):

• Правильное ускорение$O'$непрерывна и ее величина ограничена$a_{max}$. [А1']

(На любом конечном интервале [A1] подразумевает [A1'] для некоторого значения$a_{max}$. И [A1'] достаточно для приведенного выше аргумента.)

Теперь, даже при земных ускорениях, парадокс близнецов может привести к значительному несоответствию возрастов в пределах человеческой жизни. (Кроме того, если они не являются живучими ускорениями, жизнь путешествующего близнеца заканчивается!)$a_{max}$для [A1']. И один только земной опыт доказывает, что [A2] соответствует этому.$a_{max}$и до довольно малых$\epsilon$. Таким образом, [2] выполняется достаточно точно, чтобы дать парадокс близнецов. Нам нужна только специальная теория относительности плюс мирской постулат об ограниченных часах.

(Я понимаю, что вы можете обойти весь вопрос об ускорении, изменив парадокс так, чтобы было три инерциальных наблюдателя, которые сравнивают ход часов. Но тогда это уже не парадокс близнецов , да!)

Я определенно думаю, что этот вопрос намного проще.

Априорным предположением , на котором построена ОТО, является то, что эта величина не зависит от наблюдателя:

то есть два разных наблюдателя должны измерять один и тот же пространственно-временной интервал между двумя бесконечно близкими событиями.

С другой стороны,$x^0$координата любого наблюдателя по определению является лекцией в его часах отдыха, (время$c$или нет, раз$+1$или же$-1$, все зависит от дурного вкуса каждого современного автора).

Поскольку часы движущегося наблюдателя покоятся относительно его собственной системы отсчета, он не измеряет изменения пространственных координат, т. е.$dx^1=dx^2=dx^3=0$. Поэтому, если измерять от движущегося наблюдателя,

Это его собственное время (в квадрате), потому что$g_{00}=\pm 1$(метрика свободно падающего наблюдателя локально плоская). С$ds^2$будет одинаковым для обоих наблюдателей, то лекция о свободно падающих часах будет равна пространственно-временному интервалу, измеренному удаленным наблюдателем. Это все.

Теперь, если хотите, можете переписать$dx^{\mu}$как функции изменения параметра$\lambda$описывая кривую, и интегрируйте вдоль этой кривой, чтобы тривиально получить выражения в вашем вопросе.

Я не имею в виду, что другие ответы неверны, а просто то, что это прямой результат исходной теории, изложенной очень рано самим Эйнштейном в лекциях в Принстоне в 1921 году, которая не требует особых математических изысканий или дополнительных постулатов. . Эйнштейн хотел расширить инвариантность$ds^2$от специальной теории относительности к области неинерциальных наблюдателей. В своем стремлении найти, как$g_{\mu\nu}$должно было быть, чтобы эта инвариантность сохранялась также при наличии ускорения / силы тяжести и искривленных координат, затем он использовал параллельный перенос, чтобы прийти к уравнению геодезических. Вот почему уравнение геодезических было постулатом в ранней формулировке ОТО (следующим шагом было связать$g_{\mu\nu}$к материи/энергии, и именно поэтому уравнения поля с тензором Эйнштейна являются другим постулатом теории, но это уже другой вопрос)

Кажется, я где-то читал, что геодезические больше не постулат, потому что их можно вывести из уравнений Поля. Я был бы благодарен любому пользователю, который предоставляет соответствующую ссылку. Однако в 1921 году это был постулат.

Это раннее изложение Эйнштейном ОТО лекций в Принстоне отличается неистовой красотой, полно свежих идей и блестящего эвристического мышления. Я не знаю, почему он почти систематически игнорируется во всех стандартных библиографиях по GR.

Теперь, если я ошибаюсь и этот вопрос не так наивен, как кажется, я надеюсь, что кто-то укажет, где я не прав и что я упускаю, чтобы я узнал что-то новое.

Я думаю, что предположение о том, что объект можно рассматривать как движущийся по инерции на небольших участках своей мировой линии, необоснованно. Он просто объединяет непрерывное ускорение в моменты бесконечного ускорения в дискретных точках на мировой линии. Ускорение все равно есть и нужно еще показать, что оно не влияет на часы.

Кроме того, я думаю, что вывод аргумента неверен. Например, маятниковые часы измеряют нетривиальную функцию длины дуги и внешней кривизны его мировой линии, но мы по-прежнему называем их часами. Конечно, вы могли бы возразить, что их не следует называть часами, но они кажутся круговыми, поскольку нет никакой очевидной причины отрицать их принадлежность к часам, за исключением того, что они не измеряют длину мировой линии.

Физическое содержание заявления о том, что часы измеряют длину мировой линии, состоит в том, что длина мировой линии является измеримой величиной . Измеримость (дифференциальных) метрических расстояний является фундаментальным предположением общей теории относительности. Сказать, что времяподобное расстояние измеримо, значит сказать, что существует какое -то устройство, которое может его измерить, по крайней мере, в каком-то идеализированном пределе, и мы называем такие устройства «идеальными часами» или просто «часами», если это недвусмысленно в контексте. .

Короче говоря, я думаю, что утверждение «часы измеряют длину мировой линии» — это просто определение, а физическое утверждение, лежащее в его основе, не может быть доказано, потому что это просто предположение теории.

Формализм, который вы собрали для решения этой проблемы, известен как «мгновенно сопутствующие» наблюдатели/координаты, и он совершенно верен. Это один из способов построения системы координат Риндлера .

После того, как вы создали этот формализм, переход к GR, вероятно, будет концептуально наиболее простым с использованием vierbein . Тогда переход от последнего уравнения в вопросе к исходной форме ОТО есть просто замена координат/замена переменных в интеграле.