Собственное время для ускоряющегося объекта

В специальной теории относительности вы должны выбрать в качестве системы отсчета инерциальную систему отсчета. В этой инерциальной системе отсчета вы можете рассматривать движение любого объекта, каким бы ни было это движение (ускоренным или нет).

Пусть координаты движущегося объекта относительно инерциальной системы отсчета$F$, быть$x$и$t$. Мы можем рассмотреть другой начальный кадр$F'$, координаты движущегося объекта относительно$F'$, являются$x'$и$t'$

Суть специальной теории относительности заключается в том, что существует инвариант, который$c^2 dt^2 - \vec dx^2 = ds^2$. Это значит, что :$c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 =ds^2= ds'^2 = c^2 dt'^2 - \vec {dx'}^2$. Все инерциальные системы отсчета при взгляде на движущийся объект соглашаются на одно и то же значение$ds^2$

Теперь, в какой-то момент$t_0$, вы всегда можете рассмотреть инерциальную систему отсчета$F'(t_0)$который в этот момент имеет ту же скорость, что и движущийся объект, относительно$F$. Конечно у вас будет другая инерциальная система отсчета$F'(t)$за каждое мгновение. Однако ключевым моментом является то, что мгновенная скорость движущегося объекта относительно$F'(t)$равен нулю, то есть у вас есть$dx' =0$, поэтому вы можете написать:$ds^2 = c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = ds'(t)^2=c^2dt'^2$

Время$t'$определенное таким образом, называется собственным временем движущегося объекта и отмечается$\tau$($c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$). Он представляет собой время, прошедшее для часов, движущихся вместе с движущимся объектом.

С вашей проблемой обратите внимание, что если вы выполните параметризацию:

$$\left\{ \begin{array}{l l} ct= b ~sh (\frac{c \tau}{b}) \tag{1}\\ x= b ~ch (\frac{c \tau}{b}) \end{array}\right.$$ вы обнаружите, проделав небольшую алгебру, что, во-первых, $x(t) = \sqrt{(b^2)+((ct)^2)}$, а во-вторых, что $c^2 dt^2 - \vec {dx}^2 = c^2d\tau^2$(Мы предполагаем здесь $dy=dz=0$).

Так,$\tau$подходящее время, которое вы ищете, и вы можете найти выражение$\tau$относительно$t$, обращая первое уравнение параметризации$(1)$:

$$\tau = \frac{b}{c}~Argsh (\frac{c t}{b}) \tag{2}$$

Собственное время хорошо определено в СТО, СР + ускорение и даже в ОТО и неизменно во всех трех случаях. В этом случае инвариантность собственного времени означает, что вы можете просто использовать прошедшее время для покоящегося наблюдателя.

Уравнение, которое вам дали, представляет собой слегка замаскированную версию уравнения релятивистской ракеты :

$$d(t) = \frac{c^2}{a} \left(\sqrt{1 + \left(\frac{at}{c}\right)^2} - 1 \right)$$

($c$скорость света здесь - неясно, если$c$означает скорость света или просто константу в уравнении, которое вам дали). Вывод уравнения для релятивистской ракеты дан в Gravitation by Misner, Thorne and Wheeler, глава 6 .

Собственное время определяется для произвольной времяподобной траектории$x^\mu(t)$и произвольная метрика пространства-времени$g_{\mu\nu}(x)$по формуле

$$\tau=\int\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} dt.$$ Я бы рекомендовал сравнить это с общей формулой длины криволинейного пути, чтобы почувствовать, что это нечто инвариантное, и не зависящее от выбора координат, если метрика вычисляется правильно в новых координатах.